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Rigidité hyperbolique des réseaux de rang supérieur

Hyperbolic rigidity of higher rank lattices

Thomas HAETTEL
Rigidité hyperbolique des réseaux de rang supérieur
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 2
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22E40, 53C24, 20F67, 19J35, 05C81, 60J65
  • Pages : 439-468
  • DOI : 10.24033/asens.2425

 

Appendice de Vincent GUIRARDEL et Camille HORBEZ

Nous montrons que toute action d'un réseau de rang supérieur sur un espace Gromov-hyperbolique est élémentaire. Plus précisément, toute action est elliptique ou parabolique. Ce résultat est une large généralisation du fait que toute action d'un réseau de rang supérieur sur un arbre a un point fixe. Une conséquence est que toute quasi-action d'un réseau de rang supérieur sur un arbre est elliptique, autrement dit il a la propriété (QFA) de Manning. De plus, nous obtenons une preuve nouvelle du théorème de Farb-Kaimanovich-Masur disant que tout morphisme d'un réseau de rang supérieur vers le groupe modulaire d'une surface est d'image finie, sans avoir recours au théorème du sous-groupe normal de Margulis ni à la cohomologie bornée. Enfin, nous montrons que tout morphisme d'un réseau de rang supérieur vers un groupe hiérarchiquement hyperbolique est d'image finie. Dans l'appendice, Vincent Guirardel et Camille Horbez déduisent des résultats de rigidité pour des morphismes de réseaux de rang supérieur à valeurs dans divers groupes d'automorphismes extérieurs.

 

Appendix by Vincent GUIRARDEL and Camille HORBEZ

We prove that any action of a higher rank lattice on a Gromov-hyperbolic space is elementary. More precisely, it is either elliptic or parabolic. This is a large generalization of the fact that any action of a higher rank lattice on a tree has a fixed point. A consequence is that any quasi-action of a higher rank lattice on a tree is elliptic, i.e., it has Manning's property (QFA). Moreover, we obtain a new proof of the theorem of Farb-Kaimanovich-Masur that any morphism from a higher rank lattice to a mapping class group has finite image, without relying on the Margulis normal subgroup theorem nor on bounded cohomology. More generally, we prove that any morphism from a higher rank lattice to a hierarchically hyperbolic group has finite image. In the appendix, Vincent Guirardel and Camille Horbez deduce rigidity results for morphisms from a higher rank lattice to various outer automorphism groups.

Réseaux de rang supérieur, hyperbolique au sens de Gromov, rigidité, propriété (T), espaces grossièrement médians, quasi actions, marches aléatoires, groupes modulaires de surfaces, groupes hiérarchiquement hyperboliques
Higher rank lattices, Gromov hyperbolic, rigidity, property (T), coarse median spaces, quasi-actions, random walks, mapping class groups, hierarchically hyperbolic groups
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