Le théorème des trois distances affirme que les intervalles entre les parties fractionnaires de $\alpha, 2\alpha, \ldots, N\alpha$ ont au plus trois longueurs distinctes. Motivés par une question de Erdős, Geelen et Simpson, nous explorons une variante en dimension supérieure, qui pose la question du nombre d'écarts entre les parties fractionnaires d'une forme linéaire. En utilisant les propriétés ergodiques de l'action diagonale sur l'espace des réseaux, nous prouvons que pour presque toutes valeurs des paramètres le nombre d'écarts distincts dans le problème en dimension supérieure est non-borné. Notre résultat améliore en particulier les travaux antérieurs de Boshernitzan, Dyson et Bleher et al. Nous discutons en outre le lien étroit avec la conjecture de Littlewood en approximation diophantienne multiplicative. Finalement, nous démontrons également comment nos méthodes peuvent être adaptées pour obtenir des résultats similaires pour les écarts entre les temps de retour de translations dans des régions contractantes sur les tores de plus grande dimension.