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Classification de groupes reliés à celui de Thompson et construits à l'aide d'une technologie de Jones II

Classification of Thompson related groups arising from Jones' technology II

Arnaud BROTHIER
Classification de groupes reliés à celui de Thompson et construits à l'aide d'une technologie de Jones II
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 4
  • Tome : 149
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 20E22, 20E36
  • Pages : 663-725
  • DOI : 10.24033/bsmf.2838

Dans ce second article nous continuons d'étudier des classes de groupes construites à l'aide d'une méthode fonctorielle de Vaughan Jones. Une observation clef de l'auteur montre que ces groupes admettent des descriptions diagrammatiques remarquables qui peuvent être utilisées pour en déduire leurs propriétés. Etant donné un groupe quelconque et deux de ses endomorphismes nous construisons un produit semi-direct. Dans notre premier article dédié à cette construction nous avons classifié à isomorphisme près tous ces produits semi-directs lorsque l'un des endomorphismes est trivial et avons décrit leur groupe d'automorphisme.

Dans cet article, nous nous concentrons sur le cas où les deux endomorphismes sont des automorphismes. Cette situation est très différente et l'on obtient des produits semi-directs où le plus grand groupe de Richard Thompson agit sur un analogue discret d'un groupe de lacets. Notons que ces produits semi-directs apparaissent naturellement dans de récentes constructions de théories quantiques des champs. De plus, ils ont été précédemment étudiés par Tanushevski et peuvent être construits à l'aide des systèmes de clonage de Witzel-Zaremsky. En particulier, ils donnent des exemples de groupes satisfaisant différentes propriétés de finitude et une classe de contre-exemples potentiels à une conjecture de Lehnert portant sur les groupes ayant un co-langage non-contextuel. Nous donnons une classification partielle de ces produits semi-directs et décrivons explicitement leur groupe d'automorphisme. De plus, nous montrons qu'il n'y a pas d'isomorphismes ou même de bonnes injections entre un groupe étudié dans le premier article et un groupe étudié dans le deuxième.

Nous terminons par un appendice qui compare la technologie de Jones avec les systèmes de clonage de Witzel-Zaremsky et la construction de Tanushevski. Comme dans le premier article, tous les résultats présenté ont été obtenu grâce à un phénomène de rigidité surprenant portant sur les isomorphismes entre ces groupes.

In this second article, we continue to study classes of groups constructed from a functorial method due to Vaughan Jones. A key observation of the author shows that these groups admit remarkable diagrammatic descriptions that can be used to deduce their properties. Given any group and two of its endomorphisms, we construct a semi-direct product. In our first article dedicated to this construction, we classify up to isomorphism all these semi-direct products when one of the endomorphisms is trivial and describe their automorphism group.

In this article, we focus on the case where both endomorphisms are automorphisms. The situation is rather different, and we obtain semi-direct products where the largest Richard Thompson's group $V$ is acting on some discrete analogues of loop groups. Note that these semi-direct products appear naturally in recent constructions of quantum field theories. Moreover, they were previously studied by Tanushevski and can be constructed via the framework of cloning systems of Witzel-Zaremsky. In particular, they provide examples of groups with various finiteness properties and possible counter-examples of a conjecture of Lehnert on co-context-free groups. We provide a partial classification of these semi-direct products and describe their automorphism group explicitly. Moreover, we prove that groups studied in the first and second articles are never isomorphic to each other nor do they admit nice embeddings between them.

We end the article with an appendix comparing Jones' technology with Witzel-Zaremsky's cloning systems and with Tanushevski's construction. As in the first article, it was possible to achieve all the results presented via a surprising rigidity phenomenon on isomorphisms between these groups.

Groupe de Richard Thompson, technologie de Vaughan Jones, système de clonage de Witzel-Zaremsky, co-langage non-contextuel, groupe d'automorphismes
Richard Thompson's group, Vaughan Jones' technology, cloning systems of Witzel--Zaremsky, co-context-free groups, automorphism groups

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