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Amplitude arithmétique et théorème de Bertini

Arithmetic ampleness and an arithmetic Bertini theorem

François CHARLES
Amplitude arithmétique  et théorème de Bertini
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 6
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14G40, 14J20, 11G35
  • Pages : 1541-1590
  • DOI : 10.24033/asens.2488

Soit $\mathcal{X}$ une variété arithmétique projective de dimension au moins $2$, et soit $\bar{L}$ un fibré hermitien sur $\mathcal{X}$. Si $\bar{L}$ est ample, on démontre que la proportion des sections effectives de $\bar{L}^{\otimes n}$ qui définissent un diviseur irréductible sur $\mathcal{X}$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers $\infty$. On démontre également des variantes de ce résultat pour des schémas admettant un morphisme vers $\mathcal{X}$.

On prouve par ailleurs un certain nombre de propriétés générales de l'amplitude arithmétique, autour notamment de théorèmes de restriction et d'estimées pour le nombre de sections effectives de fibrés en droites hermitiens.

Let $\mathcal{X}$ be a projective arithmetic variety of dimension at least $2$. If $\bar{L}$ is an ample hermitian line bundle on $\mathcal{X}$, we prove that the proportion of those effective sections $sigma$ of $\bar{L}^{\otimes n}$ such that the divisor of $\sigma$ on $\mathcal{X}$ is irreducible tends to $1$ as $n$ tends to $\infty$. We prove variants of this statement for schemes mapping to such an $\mathcal{X}$.

On the way to these results, we discuss some general properties of arithmetic ampleness, including restriction theorems, and upper bounds for the number of effective sections of hermitian line bundles on arithmetic varieties.


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