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Finitude des courbes super-elliptiques à multiplication complexe

Finiteness of superelliptic curves with CM Jacobians

Ke CHEN, Xin LU & Kang ZUO
Finitude des courbes super-elliptiques  à multiplication complexe
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 6
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G15, 14G35, 14H40; 14D07, 14K22
  • Pages : 1591-1662
  • DOI : 10.24033/asens.2489

Dans ce travail on montre la conjecture de Coleman pour les courbes super-elliptiques: l'ensemble des classes d'isomorphismes des courbes super-elliptiques dont les jacobiennes sont à multiplication complexe comme variétés abéliennes est au plus fini, lorsque ces courbes sont de genre au moins 8. Par courbes super-elliptiques on comprend les courbes projectives lisses sur $\mathbb{C}$ admettant une équation affine sous la forme $y^n=\zeta(x)$ où $\zeta$ est un polynôme séparable. La démonstration se réduit à la géométrie du lieu de Torelli super-elliptique $\mathcal{T}S_g$ dans la variété modulaire de Siegel $\mathcal{A}_g$: on montre qu'aucune sous-variété spéciale de dimension $>0$ dans $\mathcal{A}_g$ n'est contenue génériquement dans $\mathcal{T}S_g$ pour $g\geq8$, et un rôle crucial dans nos études est joué par les propriétés de stabilité des fibrés de Higgs associés aux fibrations des surfaces algébriques.

This paper proves the Coleman conjecture for superelliptic curves: there are, up to isomorphism, at most finitely many superelliptic curves whose Jacobians are CM abelian varieties, as long as these curves are of genus at least $8$. Here superelliptic curves are smooth projective curves over $\mathbb{C}$ admitting affine equations of the form $y^n=\zeta(x)$ with $\zeta$ a separable polynomial. The proof is reduced to the geometry of superelliptic Torelli locus $\mathcal{T}S_g$ in the Siegel modular variety $\mathcal{A}_g$: we establish the generic exclusion from $\mathcal{T}S_g$ of any special subvariety of dimension $>0$ in $\mathcal{A}_g$ for $g\geq8$, and the stability properties of Higgs bundles associated to surface fibrations play a crucial role in our study.

 

Conjecture de Coleman-Oort, courbes super-elliptiques, multiplication complexe, lieu de Torelli
Coleman-Oort conjecture, superelliptic curves, complex multiplication, Torelli locus