Nous considérons dans cet article le deuxième groupe de cohomologie bornée réelle d'une surface $(S,h_0)$ hyperbolique sans cusps, dont le premier groupe fondamental est de type fini. C'est un espace de Banach de dimension infinie. Nous montrons qu'il contient un sous-espace de codimension finie qui s'interprète naturellement en termes d'objets définis sur le bord à l'infini du revêtement universel de $S$, qui sont liés à la dynamique de l'action de $\Gamma =\Pi _1(S)$ sur son ensemble limite.