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Purely infinite $C^*$-algebras arising from dynamical systems

Purely infinite $C^*$-algebras arising from dynamical systems

Claire Anantharaman-Delaroche
Purely infinite $C^*$-algebras arising from dynamical systems
  • Année : 1997
  • Fascicule : 2
  • Tome : 125
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 46~L~55, 46~L~35, 54~H~20, 58~F
  • Pages : 199-225
  • DOI : 10.24033/bsmf.2304
Nous donnons une condition suffisante pour que la $C^*$-algèbre réduite associée à un groupoïde $r$-discret soit purement infinie. Comme application, nous obtenons de nombreux exemples de $C^*$-algèbres purement infinies, à partir de groupes discrets d'isométries d'espaces métriques hyperboliques, ou de variétés de Hadamard, agissant sur leur ensemble limite. Les surjections continues dilatantes d'un espace métrique compact sur lui-même sont une autre source intéressante d'exemples. Beaucoup d'exemples étudiés ici produisent en fait des $C^*$-algèbres purement infinies, simples, nucléaires, séparables, satisfaisant au théorème des coefficients universels. Celles-ci sont donc entièrement ifiées par leurs groupes de $K$-théorie, d'après le travail récent de Kirchberg.
We give a condition sufficient to ensure that the reduced $C^*$-algebra associated with an $r$-discrete groupoid is purely infinite. As an application, we get many examples of purely infinite $C^*$-algebras, from discrete groups of isometries of hyperbolic metric spaces, or of Hadamard manifolds, acting on their limit set. The expanding continuous surjective maps from a compact metric space onto itself provide also interesting examples. Actually, many of the examples considered here give purely infinite, simple, nuclear, separable $C^*$-algebras, satisfying to the Universal Coefficient Theorem. Therefore, they are completely ified by their $K$-theory groups, thanks to the recent work of Kirchberg.
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