De nombreux travaux ont été consacrés à la minoration du temps d'existence de solutions de l'équation de Klein-Gordon nonlinéaire, à données petites, régulières, suffisamment décroissantes à l'infini. Le but de cet article est d'étudier ce problème, en dimension 1 d'espace, lorsque les données sont faiblement décroissantes à l'infini — ce qui interdit l'utilisation des techniques iques dans de telles questions — de taille $\varepsilon \ll 1$. On obtient, pour des nonlinéarités compatibles à l'équation, une minoration du temps d'existence (presque) de l'ordre de $\varepsilon ^{-4}$. La méthode utilisée repose sur l'exploitation de la courbure de la variété caractéristique de l'opérateur au travers d'estimations d'ellipticité 2-microlocale.