Soient $V$ un $2$-groupe abélien élémentaire et $X$ un $V$-CW-complexe fini.

Dans ce mémoire nous étudions deux complexes de modules sur $\mathrm{A}$, l’algèbre de Steenrod modulo $2$,  munis d’une action compatible de $\mathrm{H}^{*}V$, la cohomologie modulo $2$ de $V$, complexes  tous deux associés à $X$. Le premier, que nous appelons le complexe topologique,  est défini à l’aide de la filtration par les orbites de $X$. Le second, que nous appelons le complexe algébrique, est défini en termes de la structure de $\mathrm{H}^{*}V$-$\mathrm{A}$-module instable dont est munie $\mathrm{H}^{*}_{V}X$,  la cohomologie modulo $2$ équivariante de $X$ (ce qui signifie que nous pouvons remplacer dans cette définition $\mathrm{H}^{*}_{V}X$ par un $\mathrm{H}^{*}V$-$\mathrm{A}$-module instable arbitraire). Ces deux complexes sont de longeur $\dim_{\mathbb{Z}/2}V$ et peuvent être coaugmentés par $\mathrm{H}^{*}_{V}X$ ; nous construisons en outre un morphisme $\kappa$ du complexe algébrique vers le complexe topologique compatible avec la coaugmentation.

Nous montrons en particulier  que ces deux complexes coaugmentés sont acycliques si et seulement si $\mathrm{H}^*_{V}X$ est libre comme $\mathrm{H}^*V$-module. Dans ce cas $\kappa$  est un isomorphisme ce qui implique que tous les termes du complexe topologique sont des modules instables sur l’algèbre de Steenrod.

Pour illustrer le résultat évoqué ci-dessus nous étudions en détail le cas où $\mathrm{H}^{*}_{V}X$ est libre de dimension $1$ comme $\mathrm{H}^{*}V$-module. Ceci a lieu si (et en un certain sens seulement si)  $X$ est la compactification à l’infini d’une représentation linéaire réelle (de dimension finie) de $V$. Dans certains cas particuliers nous donnons des informations très précises sur la structure du complexe (topologique ou algébrique) associé à $X$.

Il existe un chevauchement notable entre la partie topologique de notre mémoire et l’article Syzygies in equivariant cohomology in positive characteristic, de  Allday, Franz et Puppe, qui vient d’apparaître. Cependant nos techniques sont très différentes des leurs : le nom Steenrod ne figure pas dans leur article tandis que notre étude fait un usage intensif de la théorie des $\mathrm{H}^{*}V$-$\mathrm{A}$-modules instables (en particulier celle des foncteurs $\mathrm{Fix}$) qui est un sous-produit des recherches sur la conjecture de Sullivan.

Les  relations entre notre travail et celui de Allday, Franz et Puppe sont examinées en détail.

La relation entre notre travail et  l’article de Bob Oliver « Higher limits via Steinberg representations » est également examinée.

Le  complexe algébrique associé à un $\mathrm{H}^{*}V$-$\mathrm{A}$-module instable, auquel nous avons fait allusion plus haut, est obtenu formellement à partir d’une filtration décroissante naturelle des $\mathrm{H}^{*}V$-$\mathrm{A}$-modules instables (dans la catégorie abélienne de ces objets) définie en termes des foncteurs $\mathrm{Fix}$ ; nous montrons enfin que cette filtration coincide (en un sens évident) avec la filtration par la codimension du support des $\mathrm{H}^{*}V$-modules sous-jacents.