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Comportements globaux des équations des ondes semi-linéaires défocalisantes

Global behaviors of defocusing semilinear wave equations

Shiwu YANG
Comportements globaux des équations des ondes semi-linéaires défocalisantes
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 2
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35L05, 35P25
  • Pages : 405-428
  • DOI : 10.24033/asens.2498

Dans cet article, nous étudions les comportements globaux des solutions aux équations des ondes semi-linéaires défocalisantes dans ${\mathbb{R}}^{1+d}$ avec $d\geq 3$. Nous prouvons que dans l'espace d'énergie la solution vérifie les estimations intégrées de la décroissance de l'énergie locale pour l'ensemble des cas énergie sous-critiques et critiques. Pour le cas où $p>\frac{d+1}{d-1}$, nous dérivons une borne d'énergie pondérée uniforme pour la solution ainsi que la décroissance polynomiale inverse du flux d'énergie à travers des hypersurfaces en dehors du cône de lumière. En conséquence, la solution se disperse dans l'espace d'énergie et dans l'espace de Sobolev critique pour $p$ avec une borne inférieure améliorée. Cela étend en particulier les résultats de diffusion existant à des dimensions supérieures sans symétrie sphérique.

In this paper, we investigate the global behaviors of solutions to defocusing semilinear wave equations in ${\mathbb{R}}^{1+d}$ with $d\geq 3$. We prove that in the energy space the solution verifies the integrated local energy decay estimates for the full range of energy subcritical and critical powers. For the case where $p>\frac{d+1}{d-1}$, we derive a uniform weighted energy bound for the solution as well as inverse polynomial decay of the energy flux through hypersurfaces away from the light cone. As a consequence, the solution scatters in the energy space and in the critical Sobolev space for $p$ with an improved lower bound. This in particular extends the existing scattering results to higher dimensions without spherical symmetry.

Équation d'onde non linéaire défocalisante, décroissance de l'énergie, diffusion
Defocusing nonlinear wave equation, energy decay, scattering

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