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Transformations de Pitman et mouvement brownien dans l'intervalle vu comme une alcôve affine

Pitman transforms and Brownian motion in the interval viewed as an affine alcove

Philippe BOUGEROL & Manon DEFOSSEUX
Transformations de Pitman et mouvement brownien dans l'intervalle vu comme une alcôve affine
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 2
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60J65, 17B67
  • Pages : 429-472
  • DOI : 10.24033/asens.2499

Le théorème de Pitman affirme que si $\{B_t,t\ge 0\}$ est un mouvement brownien  unidimensionnel, alors $\{B_t - 2 \inf_{0\leq s\leq t}B_s, t\ge 0\}$ est un processus de Bessel de dimension trois, c'est-à-dire un brownien  conditionné à rester positif. Nous donnons dans cet article une représentation analogue pour le brownien conditionné à rester dans un intervalle donné. En raison de la présence de deux extrémités, cette représentation est plus compliquée que celle du théorème original.   Nous utilisons le fait que l'intervalle est une alcôve pour l'algèbre de Kac-Moody affine $A_1^{(1)}$, l'approche par le modèle de chemins de Littelmann de la théorie des représentations et une approximation diédrale.

Pitman's theorem states that if $\{B_t,t\ge 0\}$ is a one dimensional Brownian motion, then $\{B_t - 2 \inf_{0 \leq s\leq t}B_s, t\ge 0\}$ is a three dimensional Bessel process, i.e., a Brownian motion conditioned to remain forever positive.  This paper gives a similar representation for the Brownian motion conditioned to remain in a given  interval.  Due to the double barrier condition, this representation is more involved and only asymptotic. One uses the fact that the interval is an alcove of the Kac-Moody affine Lie algebra $A_1^{(1)}$, the Littelmann path approach of representation theory and a dihedral approximation.

Mouvement brownien, algèbre de Kac-Moody, transformation de Pitman
Brownian motion, Kac-Moody algebra, Pitman's transform