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Le degré d'irrationalité de la plupart des surfaces abéliennes est 4

The degree of irrationality of most abelian surfaces is 4

Olivier MARTIN
Le degré d'irrationalité de la plupart des surfaces abéliennes est 4
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 2
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14E05, 14C15, 14E08, 14K99
  • Pages : 569-574
  • DOI : 10.24033/asens.2502

Le degré d'irrationnalité d'une variété projective lisse $X$ est le degré minimal d'une application rationnelle dominante $X\dashrightarrow \mathbb{P}^{\dim X}$. Nous montrons que si une surface abélienne $A$ sur $\mathbb{C}$ est telle que l'image de l'accouplement d'intersection $\text{Sym}^2NS(A)\to \mathbb{Z}$ ne contient pas le nombre $12$, alors son degré d'irrationnalité est $4$. En particulier, le degré d'irrationnalité d'une surface abélienne très générale munie d'une polarisation de type $(1,d)$ est $4$ si $d\nmid 6$. Ce résultat nous permet de répondre à deux questions de Yoshihara en fournissant les premiers exemples de surfaces abéliennes dont le degré d'irrationnalité est supérieur à $3$ et en montrant que le degré d'irrationnalité n'est pas invariant sous isogénie pour les surfaces abéliennes.

The degree of irrationality of a smooth projective variety $X$ is the minimal degree of a dominant rational map $X\dashrightarrow \mathbb{P}^{\dim X}$. We show that if an abelian surface $A$ over $\mathbb{C}$ is such that the image of the intersection pairing $\text{Sym}^2NS(A)\to \mathbb{Z}$ does not contain $12$, then it has degree of irrationality $4$. In particular, a very general $(1,d)$-polarized abelian surface has degree of irrationality $4$ provided that $d\nmid 6$. This answers two questions of Yoshihara by providing the first examples of abelian surfaces with degree of irrationality greater than $3$ and showing that the degree of irrationality is not isogeny-invariant for abelian surfaces.

Applications rationnelles, cycles algébriques, variétés abéliennes
Rational maps, algebraic cycles, abelian varieties