SMF

Niveau de répartition de convolutions déséquilibrées

Level of distribution of unbalanced convolutions

Etienne FOUVRY & Maksym RADZIWILL
Niveau de répartition de convolutions déséquilibrées
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 2
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11N69; 11N25
  • Pages : 537-568
  • DOI : 10.24033/asens.2501

Nous prouvons que, si une suite essentiellement arbitraire, de support inclus dans un intervalle contenant $x$ entiers, est convolée à une   suite courte de type Siegel-Walfisz,  de support inclus dans un intervalle contenant $\exp\left( (\log x)^\varepsilon\right)$ entiers, le résultat obtenu par cette convolution multiplicative, est une suite dont le niveau de répartition est, au sens faible,  en $x^{1/2+1/66-\varepsilon}$, pour $x$ tendant vers l'infini. Cette estimation de variance a plusieurs conséquences : l'équirépartition, pour $k$ quelconque, de la fonction nombre de diviseurs d'ordre $k$ jusqu'aux modules en $x^{1/2 +1/66-\varepsilon}$, l'équiréparition des produits de deux nombres premiers dans les progressions arithmétiques de grands modules, l'équirépartition des poids du crible de niveau en $x^{1/2+1/66-\varepsilon}$ dans des modules allant jusqu'à $x^{1-\varepsilon}$, enfin, la répartition en moyenne des entiers sommes de deux carrés, dans des progressions arithmétiques de modules allant jusqu'à $x^{1-\varepsilon}$.  Les améliorations qu'apporte  notre travail, s'inspirent  d'un article de Green (et d'un résultat ultérieur de Granville-Shao) qui traitent  de la répartition des fonctions multiplicatives, bornées par $1$, dans les progressions arithmétiques de grand module. Comme dans les travaux antérieurs le principal ingédient technique est la récente majoration de Bettin--Chandee des formes trilinéaires en fractions de Kloosterman, dans le prolongement de la majoration de Duke--Friedlander--Iwaniec des formes bilinéaires de ces mêmes fractions.

We show that if an essentially arbitrary sequence supported on an interval containing $x$ integers, is convolved with a tiny Siegel-Walfisz-type sequence supported on an interval containing $\exp((\log x)^{\varepsilon})$ integers then the resulting multiplicative convolution has (in a weak sense) level of distribution $x^{1/2 + 1/66 - \varepsilon}$ as $x$ goes to infinity. This dispersion estimate has a number of consequences for: the distribution of the $k$th divisor function to moduli $x^{1/2 + 1/66 - \varepsilon}$ for any integer $k \geq 1$, the distribution of products of exactly two primes in arithmetic progressions to large moduli, the distribution of sieve weights of level $x^{1/2 + 1/66 - \varepsilon}$ to moduli as large as $x^{1 - \varepsilon}$ and for the average distribution of sums of two squares for almost all moduli $q$ of size $ x^{1-\varepsilon}$.
 Our result improves and is inspired by earlier work of Green (and subsequent work of Granville-Shao) which is concerned with the distribution of $1$-bounded multiplicative functions in arithmetic progressions to large moduli. As in these previous works the main technical ingredients are the recent estimates of Bettin-Chandee for trilinear forms in Kloosterman fractions and the estimates of Duke-Friedlander-Iwaniec for bilinear forms in Kloosterman fractions.

Equirépartition dans les progressions arithmétiques, méthode de la variance
Equidistribution in arithmetic progressions, dispersion method