On considère le problème de Cauchy pour les équations (non-linéaires) de Maxwell couplées avec un champ scalaire chargé, avec données initiales à symétrie sphérique, sur l'espace-temps de Reissner-Nordstrom sous-extrémal ou Schwarzschild. Nous démontrons que les solutions sont bornées et dispersent à un taux polynomial-inverse en temps large, vers timelike infinity et sur l'horizon des évènements, pourvu que la charge dans les équations de Maxwell soit suffisamment petite.

Cette condition est en particulier satisfaite pour des données de petite amplitude qui décroissent suffisamment rapidement à grandes distances dans la direction asymptotiquement plate.

La plupart des estimées que nous prouvons sont arbitrairement proches des taux optimaux conjecturés à la limite où la charge tend vers zéro, selon les arguments heuristiques présents dans la littérature en physique.

Notre résultat peut également être interprété comme la première étape en direction de la stabilité des trous noirs de Reissner-Nordstrom pour le modèle d'Einstein-Maxwell couplés avec un champ scalaire chargé. Ce problème est intimement lié à la conjecture de censure cosmologique forte, et à l'effondrement gravitationnel de matière chargée.