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Dispersion des solutions faiblement chargées des équations de Maxwell avec champ scalaire chargé en symétrie sphérique sur l'extérieur de l'espace-temps de Reissner-Nordström

Decay of weakly charged solutions for the spherically symmetric Maxwell-Charged-Scalar-Field equations on a Reissner-Nordström exterior space-time

Maxime VAN DE MOORTEL
Dispersion des solutions faiblement chargées des équations de Maxwell avec champ scalaire chargé en symétrie sphérique sur l'extérieur de l'espace-temps de Reissner-Nordström
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 2
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 83C05, 83C57, 83C75, 35L05, 35L72
  • Pages : 283-404
  • DOI : 10.24033/asens.2497

On considère le problème de Cauchy pour les équations (non-linéaires) de Maxwell couplées avec un champ scalaire chargé, avec données initiales à symétrie sphérique, sur l'espace-temps de Reissner-Nordstrom sous-extrémal ou Schwarzschild. Nous démontrons que les solutions sont bornées et dispersent à un taux polynomial-inverse en temps large, vers timelike infinity et sur l'horizon des évènements, pourvu que la charge dans les équations de Maxwell soit suffisamment petite.

Cette condition est en particulier satisfaite pour des données de petite amplitude qui décroissent suffisamment rapidement à grandes distances dans la direction asymptotiquement plate.

La plupart des estimées que nous prouvons sont arbitrairement proches des taux optimaux conjecturés à la limite où la charge tend vers zéro, selon les arguments heuristiques présents dans la littérature en physique.

Notre résultat peut également être interprété comme la première étape en direction de la stabilité des trous noirs de Reissner-Nordstrom pour le modèle d'Einstein-Maxwell couplés avec un champ scalaire chargé. Ce problème est intimement lié à la conjecture de censure cosmologique forte, et à l'effondrement gravitationnel de matière chargée.

We consider the Cauchy problem for the (non-linear) Maxwell-Charged-Scalar-Field equations with spherically symmetric initial data, on a sub-extremal Reissner-Nordström or Schwarzschild  exterior space-time. We prove that the solutions are bounded and decay at an inverse polynomial rate towards time-like infinity and along the black hole event horizon, provided the charge of the Maxwell equation is sufficiently small.

This condition is in particular satisfied for small data in energy space that enjoy a sufficient decay towards the asymptotically flat end.

Some of the decay estimates we prove are arbitrarily close to the conjectured optimal rate in the limit where the charge tends to zero, according to the heuristics present in the physics literature.

Our result can also be interpreted as a first step towards the stability of Reissner-Nordström black holes for the bf{gravity coupled} Einstein-Maxwell-Charged-Scalar-Field model. This problem is closely connected to the understanding of strong cosmic censorship and charged gravitational collapse in this setting.

Problème de Cauchy, comportement asymptotique, dispersion en temps, trou noir, Conjecture de Censure Cosmique Forte, criticité d'échelle
Cauchy problem, asymptotics, time-decay, black hole, Strong Cosmic Censorship, scale-critical

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