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Conservation de la ramification modérée par la correspondance de Howe

Anne-Marie Aubert
Conservation de la ramification modérée par la correspondance de Howe
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  • Année : 1989
  • Fascicule : 3
  • Tome : 117
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Pages : 297-303
  • DOI : 10.24033/bsmf.2123
La conjecture de Howe a été prouvée pour les paires réductives duales non ramifiées de type $I$, (cf. [1, chapitre 5]). Pour de telles paires, on étudie la correspondance de Howe pour des représentations modérément ramifiées, i.e. ayant un vecteur non nul invariant par un sous-groupe d'Iwahori, ou plus généralement par un sous-groupe parahorique. Soit $F$ un corps $p$-adique $(p\not =2)$ et $(U_1,U_2)$ une paire réductive duale irréductible non ramifiée de type $I$ sur $F$. Soit $F'$ égal à $F$ ou à son extension quadratique non ramifiée. On note $\mathcal {O}'$ l'anneau des entiers de $F'$. Le groupe $U_i$ s'identifie au groupe des isométries d'un espace hermitien $W_i$ sur $F'$. On considère l'espace symplectique $W=W_1\otimes _{F'}W_2$. Notons $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$ le groupe métaplectique, extension par $\mathbb {C}^\times $ du groupe symplectique ${\rm Sp}(W)$ et ${\widetilde U}_i$ l'image réciproque de $U_i$ dans $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$. On considère des sous-groupes d'Iwahori $I_1$ and $I_2$ de $U_1$ et $U_2$ respectivement. Réalisons la représentation de Weil du groupe métaplectique $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$ dans un modèle $S$. Le résultat principal est le suivant : le ${\widetilde U}_2$-module $S^{I_1}$ formé des vecteurs $I_1$-invariants de $S$ est engendré par l'espace des $I_1\times I_2$-invariants. Nous donnons une application de ce résultat à la correspondance de Howe. Considérons une représentation $(\pi _1,V_1)$ de $\widetilde U_1$ lisse irréductible telle que $V^{I_1}_1\not =\{0\}$, où $I_1$ est un sous-groupe d'Iwahori de $U_1$. Soit $(\pi _2,V_2)$ l'image de $(\pi _1,V_1)$ par la correspondance de Howe. Alors $V^{I_2}_2\not =\{0\}$, pour un certain sous-groupe d'Iwahori $I_2$ de $U_2$.
The Howe conjecture has been proven for unramified irreducible reductive dual pairs of type $I$. We study the Howe correspondence for such pairs for tamely ramified representations, i.e. representations which admit a fixed vector by an Iwahori subgroup. Let $F$ be a $p$-adic field $(p\not =2)$ and let $(U_1,U_2)$ be an unramified irreducible reductive dual pair of type $I$ over $F$. Let $F'$ be either $F$ or its unramified quadratic extension. We denote by $\mathcal {O}'$ the ring of integers of $F'$. There is a natural identification of $U_i$ with the isometry group of an hermitian space $W_i$ over $F'$. Consider the symplectic space $W=W_1\otimes _{F'}W_2$. We denote by $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$ the metaplectic group, extension by $\mathbb {C}^\times $ of the symplectic group ${\rm Sp}(W)$ and by ${\widetilde U}_i$ the inverse image of $U_i$ in $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$. Consider some Iwahori subgroups $I_1$ and $I_2$ of $U_1$ and $U_2$ respectively. We realize the Weil representation of the metaplectic group $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$ in a model $S$. The main result is : The ${\widetilde U}_2$-module $S^{I_1}$ consisting of the $I_1$-fixed vectors in $S$ is generated by the space of $I_1\times I_2$-invariants. We give an application of that result to the Howe correspondence. Consider an irreducible smooth representation $(\pi _1,V_1)$ of $\widetilde U_1$ with $V^{I_1}_1\not =\{0\}$, where $I_1$ is an Iwahori subgroup of $U_1$. Let $(\pi _2,V_2)$ be the image of $(\pi _1,V_1)$ in the Howe correspondence. Then $V^{I_2}_2\not =\{0\}$, for some Iwahori subgroup $I_2$ of $U_2$.