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Some remarks about algebraic independence measures in high dimension

Some remarks about algebraic independence measures in high dimension

Francesco Amoroso
Some remarks about algebraic independence measures in high dimension
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  • Année : 1989
  • Fascicule : 3
  • Tome : 117
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 285-295
  • DOI : 10.24033/bsmf.2122
Pour $\omega \in \mathbb {C}^n$ et $k\in \mathbb {N}$, $1\le k\le n$, il est possible de définir deux mesures. La première est la mesure d'indépendance algébrique, qui donne une minoration de la grandeur en $\omega $ d'un idéal $I$ de polynômes de codimension $k$. La deuxième est la mesure d'approximation, qui donne une minoration d'approximabilité des coordonnées de $\omega $ par des nombres algébriques sur une extension transcendante pure de $\mathbb {Q}$ de dimension $n-k$. En une variable, ces mesures sont équivalentes entre elles. En plusieurs variables les relations qui les lient ne semblent pas optimales. Dans ce texte nous étudions des mesures d'indépendance algébrique pour « idéaux lisses »afin d'établir des relations plus précises avec les mesures d'approximation.
For $\omega \in \mathbb {C}^n$ and $k\in \mathbb {N}$, $1\le k\le n$, it is possible to define two different measures. Firstly, an algebraic independence measure, which gives a lower bound for the “smallness” at $\omega $ of a $k$-rank ideal $I$ of polynomials ; secondly an approximation measure, which provides a lower bound for the approximability of $\omega $ with $n$-tuples of complex numbers, algebraic over a pure transcendental extension of dimension $n-k$ over the rationals. If $n=1$ these measures are equivalent, but in higher dimensions the relations between them do not seem to be optimal. In this paper algebraic independence measures “for smooth ideal” are analyzed and a stronger relation between them and approximation measures is found.