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Corps différentiels et flots géodésiques I - Orthogonalité aux constantes pour les équations différentielles autonomes

Differential fields and geodesic flows I - Orthogonality to the constants for autonomous differential equations

Rémi JAOUI
Corps différentiels et flots géodésiques I - Orthogonalité aux constantes pour les équations différentielles autonomes
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 3
  • Tome : 148
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 03C98, 12H05
  • Pages : 529-595
  • DOI : 10.24033/bsmf.2816

L'orthogonalité aux constantes est une propriété issue de l'étude modèle-théorique des équations différentielles algébriques et qui traduit des propriétés d'indépendance algébrique remarquables pour ses solutions.

Dans cet article, on étudie la propriété d'orthogonalité aux constantes dans un langage algebro-différentiel pour les équations différentielles autonomes ainsi que des méthodes effectives pour établir cette propriété. Le résultat principal est un critère d'orthogonalité aux constantes (et sa version en famille) pour les $D$-variétés réelles absolument irréductibles $(X,v)$ s'appuyant sur la dynamique du flot réel associé $(M,\phi)$. Plus précisément, on montre que s'il existe une partie compacte $K$ de $M$, Zariski-dense dans $X$ telle que la restriction du flot à $K$ est topologiquement faiblement mélangeante, alors le type générique de $(X,v)$ est orthogonal aux constantes.

Ce critère sera appliqué dans [18] à l'étude modèle-théorique du flot géodésique sur les variétés riemanniennes compactes à courbure strictement négative, présentées algébriquement.

Orthogonality to the constants is property of an algebraic differential equation that originated from the model-theoretic study of differential fields and  that expresses remarkable independence properties for its solutions

In this article, we study the property of orthogonality to the constants in a differential algebraic language for autonomous differential equations and describe some effective methods to establish this property. The main result is a criterion for orthogonality to the constants (and its version for families) for real absolutely irrecucible $D$-varieties $(X,v)$ based on the dynamical properties of the associated real analytic flow  $(M,\phi)$.  More precisely, we show that if there exists  a compact region $K$ of $M$, Zariski-dense in $X$ and such that the restriction of the flow $\phi$ to $K$ is topologically weakly mixing  then the generic type of $(X,v)$ is orthogonal to the constants.

This criterion will be applied in [18] to study from this model-theoretic point of view the geodesic flow of a compact Riemannian varieties (presented algebraically) with negative curvature.

Théorie des modèles, Algèbre différentielle, Théorie géométrique de la stabilité, Équations différentielles algébriques
Model theory, Differential algebra, Geometric stability theory, Algebraic differential equations
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