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Caractérisation des pôles du facteur d'Asai $\ell$-modulaire

Characterisation of the poles of the $\ell$-modular Asai $\mathrm{L}$-factor

Robert KURINCZUK, Nadir MATRINGE
Caractérisation des pôles du facteur d'Asai $\ell$-modulaire
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 3
  • Tome : 148
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22E50, 11F70, 11F66
  • Pages : 481-514
  • DOI : 10.24033/bsmf.2814

Soit $\mathrm{F}/\mathrm{F}_{\mathsf{o}}$ une extension quadratique de corps locaux non archimédiens de caractéristique résiduelle impaire. Posons $\mathrm{G}=\operatorname{GL}_n(F)$, $\mathrm{G}_{\mathsf{o}}=\operatorname{GL}_n(\mathrm{F}_{\mathsf{o}})$ et soit $\ell$ un nombre premier différent de la caractéristique résiduelle de $\mathrm{F}$. Pour une représentation cuspidale complexe $\pi$ de $\mathrm{G}$, le facteur $\mathrm{L}$ d'Asai $\mathrm{L}_{\mathrm{As}}(\mathrm{X},\pi)$ admet un pôle en $\mathrm{X}=1$ si et seulement si $\pi$ est $\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$-distinguée. Dans cet article nous résolvons le problème de l'occurence d'un pôle en $\mathrm{X}=1$ de $\mathrm{L}_{\mathrm{As}}(\mathrm{X},\pi)$ quand $\pi$ est une représentation cuspidale $\ell$-modulaire de $\mathrm{G}$: dans ce cas $\mathrm{L}_{\mathrm{As}}(\mathrm{X},\pi)$ admet un pôle en $\mathrm{X}=1$ si et seulement si $\pi$ est relativement banale distinguée ; autrement dit $\pi$ est $\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$-distinguée mais pas $\vert\det(~ )|_{\mathrm{F}_{\mathsf{o}}}$-distinguée.  Cette notion est l'analogue pour l'espace symétrique $\mathrm{G}/\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$ de la notion de cuspidale banale introduite par Mínguez et Sécherre pour les $\overline{\mathbb{F}_\ell}$-représentations de~$\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$.

En cours de route, on calcule le facteur $\mathrm{L}$ d'Asai des représentations cuspidales $\ell$-modulaires de $\mathrm{G}$ par la théorie des types, et on prouve de nouveaux résultats concernant le relèvement et la réduction modulo $\ell$ des représentations cuspidales distinguées. Finalement, on détermine quand la $\mathrm{G}_{{\mathsf{o}}}$-période sur le modèle de Whittaker d'une représentation cuspidale distinguée de $\mathrm{G}$ est non nulle.

Let $\mathrm{F}/\mathrm{F}_{\mathsf{o}}$ be a quadratic extension of non-archimedean local fields of odd residual characteristic, set $\mathrm{G}=\operatorname{GL}_n(F)$, $\mathrm{G}_{\mathsf{o}}=\operatorname{GL}_n(\mathrm{F}_{\mathsf{o}})$ and let $\ell$ be a prime number different from the residual characteristic of $\mathrm{F}$. For a complex cuspidal representation $\pi$ of~$\mathrm{G}$, the Asai $\mathrm{L}$-factor $\mathrm{L}_{\mathrm{As}}(\mathrm{X},\pi)$ has a pole at $\mathrm{X}=1$, if and only if $\pi$ is $\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$-distinguished. In this paper, we solve the problem of characterising the occurrence of a pole at $\mathrm{X}=1$ of $\mathrm{L}_{\mathrm{As}}(\mathrm{X},\pi)$ when $\pi$ is an $\ell$-modular cuspidal representation of $\mathrm{G}$; we show that $\mathrm{L}_{\mathrm{As}}(\mathrm{X},\pi)$ has a pole at $\mathrm{X}=1$, if and only if $\pi$ is a \emph{relatively banal} distinguished representation, namely $\pi$ is $\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$-distinguished but not $\vert\det(~ )|_{\mathrm{F}_{\mathsf{o}}}$-distinguished.  This notion turns out to be an exact analogue for the symmetric space $\mathrm{G}/\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$ of Mínguez and Sécherre's notion of banal cuspidal $\overline{\mathbb{F}_\ell}$-rep\-re\-sen\-ta\-tion of $\mathrm{G}_{\mathsf{o}}$.
Along the way, we compute the Asai $\mathrm{L}$-factor of all cuspidal $\ell$-modular representations of $\mathrm{G}$ in terms of type theory and prove new results concerning lifting and reduction modulo~$\ell$ of distinguished cuspidal representations. Finally, we determine when the natural $\mathrm{G}_{{\mathsf{o}}}$-period on the Whittaker model of a distinguished cuspidal representation of $\mathrm{G}$ is non-zero.

Facteur $\mathrm{L}$ d'Asai, Représentations distinguées des groupes $p$-adiques, Représentations modulaires des groupes $p$-adiques
Asai $\mathrm{L}$-factor, Distinguished representations of $p$-adic groups, Modular representations of $p$-adic groups
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