Caractérisation des pôles du facteur d'Asai ℓ-modulaire
Characterisation of the poles of the ℓ-modular Asai L-factor

Anglais
Soit F/Fo une extension quadratique de corps locaux non archimédiens de caractéristique résiduelle impaire. Posons G=GLn(F), Go=GLn(Fo) et soit ℓ un nombre premier différent de la caractéristique résiduelle de F. Pour une représentation cuspidale complexe π de G, le facteur L d'Asai LAs(X,π) admet un pôle en X=1 si et seulement si π est Go-distinguée. Dans cet article nous résolvons le problème de l'occurence d'un pôle en X=1 de LAs(X,π) quand π est une représentation cuspidale ℓ-modulaire de G: dans ce cas LAs(X,π) admet un pôle en X=1 si et seulement si π est relativement banale distinguée ; autrement dit π est Go-distinguée mais pas |det( )|Fo-distinguée. Cette notion est l'analogue pour l'espace symétrique G/Go de la notion de cuspidale banale introduite par Mínguez et Sécherre pour les ¯Fℓ-représentations de~Go.
En cours de route, on calcule le facteur L d'Asai des représentations cuspidales ℓ-modulaires de G par la théorie des types, et on prouve de nouveaux résultats concernant le relèvement et la réduction modulo ℓ des représentations cuspidales distinguées. Finalement, on détermine quand la Go-période sur le modèle de Whittaker d'une représentation cuspidale distinguée de G est non nulle.