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Caractérisation des pôles du facteur d'Asai -modulaire

Characterisation of the poles of the -modular Asai L-factor

Robert KURINCZUK, Nadir MATRINGE
Caractérisation des pôles du facteur d'Asai $\ell$-modulaire
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 3
  • Tome : 148
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22E50, 11F70, 11F66
  • Pages : 481-514
  • DOI : 10.24033/bsmf.2814

Soit F/Fo une extension quadratique de corps locaux non archimédiens de caractéristique résiduelle impaire. Posons G=GLn(F), Go=GLn(Fo) et soit un nombre premier différent de la caractéristique résiduelle de F. Pour une représentation cuspidale complexe π de G, le facteur L d'Asai LAs(X,π) admet un pôle en X=1 si et seulement si π est Go-distinguée. Dans cet article nous résolvons le problème de l'occurence d'un pôle en X=1 de LAs(X,π) quand π est une représentation cuspidale -modulaire de G: dans ce cas LAs(X,π) admet un pôle en X=1 si et seulement si π est relativement banale distinguée ; autrement dit π est Go-distinguée mais pas |det( )|Fo-distinguée.  Cette notion est l'analogue pour l'espace symétrique G/Go de la notion de cuspidale banale introduite par Mínguez et Sécherre pour les ¯F-représentations de~Go.

En cours de route, on calcule le facteur L d'Asai des représentations cuspidales -modulaires de G par la théorie des types, et on prouve de nouveaux résultats concernant le relèvement et la réduction modulo des représentations cuspidales distinguées. Finalement, on détermine quand la Go-période sur le modèle de Whittaker d'une représentation cuspidale distinguée de G est non nulle.

Let F/Fo be a quadratic extension of non-archimedean local fields of odd residual characteristic, set G=GLn(F), Go=GLn(Fo) and let be a prime number different from the residual characteristic of F. For a complex cuspidal representation π of~G, the Asai L-factor LAs(X,π) has a pole at X=1, if and only if π is Go-distinguished. In this paper, we solve the problem of characterising the occurrence of a pole at X=1 of LAs(X,π) when π is an -modular cuspidal representation of G; we show that LAs(X,π) has a pole at X=1, if and only if π is a \emph{relatively banal} distinguished representation, namely π is Go-distinguished but not |det( )|Fo-distinguished.  This notion turns out to be an exact analogue for the symmetric space G/Go of Mínguez and Sécherre's notion of banal cuspidal ¯F-rep\-re\-sen\-ta\-tion of Go.
Along the way, we compute the Asai L-factor of all cuspidal -modular representations of G in terms of type theory and prove new results concerning lifting and reduction modulo~ of distinguished cuspidal representations. Finally, we determine when the natural Go-period on the Whittaker model of a distinguished cuspidal representation of G is non-zero.

Facteur L d'Asai, Représentations distinguées des groupes p-adiques, Représentations modulaires des groupes p-adiques
Asai L-factor, Distinguished representations of p-adic groups, Modular representations of p-adic groups