SMF

Counting points on cubic surfaces, I

Counting points on cubic surfaces, I

John B. SLATER, Sir Peter SWINNERTON-DYER
  • Année : 1998
  • Tome : 251
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary 11G25; Secondary 14G25
  • Pages : 1-12
  • DOI : 10.24033/ast.407

Soient $V$ une surface cubique non singulière définie sur $\mathbb Q$ et $U$ le complémentaire des $27$ droites de $V$. On note $N(U,H)$ le nombre de points rationnels de $U$ de hauteur plus petite que $H$. Manin a conjecturé que, si $V(\mathbb Q)$ n'est pas vide, alors $ N(U,H)=C_1H(\log H)^{r-1}(1+o(1))\leqno {(1)} $ où $C_1$ est une constante strictement positive et $r$ le rang du groupe de Néron-Severi $NS(V/{\mathbb Q})$ de $V$ sur $\mathbb Q$. Dans cet article nous considérons le cas particulier où $V$ contient deux droites rationnelles disjointes ; et nous prouvons qu'il existe une constante $C_2>0$ telle que pour tout réel $H$ assez grand on ait $N(U,H)>C_2H(\log H)^{r-1}.$ Ceci donne la minoration dans l'estimation asymptotique (1). Il est probable que les arguments de ce texte puissent être modifiés pour montrer le résultat correspondant quand $V$ contient deux droites disjointes conjuguées sur $\mathbb Q$ de sorte que chacune soit définie sur une extension quadratique de $\mathbb Q$. Mais nous n'avons pas entrepris de rédiger les détails.

Let $V$ be a nonsingular cubic surface defined over $\mathbb Q$, let $U$ be the open subset of $V$ obtained by deleting the 27 lines, and denote by $N(U,H)$ the number of rational points in $U$ of height less than $H$. Manin has conjectured that if $V({\mathbb Q})$ is not empty then $ N(U,H)=C_1H(\log H)^{r-1}(1+o(1))\leqno {(1)} $ for some $C_1>0$, where $r$ is the rank of $NS(V/{\mathbb Q})$, the Néron-Severi group of $V$ over $\mathbb Q$. In this note we consider the special case when $V$ contains two rational skew lines ; and we prove that for some $C_2>0$ and all large enough $H$, $ N(U,H)>C_2H(\log H)^{r-1}. $ This is the one-sided estimate corresponding to (1). It seems probable that the arguments in this paper could be modified to prove the corresponding result when $V$ contains two skew lines conjugate over $\mathbb Q$ and each defined over a quadratic extension of $\mathbb Q$ ; but we have not attempted to write out the details.

Cubic surfaces, Manin conjecture
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