SMF

Counting Rational Points on Cubic Surfaces

Counting Rational Points on Cubic Surfaces

Roger HEATH-BROWN
  • Année : 1998
  • Tome : 251
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary 11G35; Secondary 11D41, 11E76, 11G05
  • Pages : 13-30
  • DOI : 10.24033/ast.408

Soient $F[W,X,Y,Z]$ une forme cubique rationnelle et $N^{(0)}(R)$ le nombre de zéros rationnels de $F$ de hauteur inférieure ou égale à $R$, qui ne sont sur aucune des droites rationnelles de la surface $F=0$. Nous montrons que $N^{(0)}(R)\ll _{\varepsilon ,F}R^{4/3+\varepsilon }$ pour tout réel fixé $\epsilon >0$, sous une hypothèse sur la taille du rang des courbes elliptiques. Pour la démonstration on compte les points sur les courbes cubiques obtenues comme sections hyperplanes de la surface $F=0$.

Let $F[W,X,Y,Z]$ be a rational cubic form, and let $N^{(0)}(R)$ be the number of rational zeros of $F$ of height at most $R$, which do not lie on any rational line in the surface $F=0$. We show that $N^{(0)}(R)\ll _{\varepsilon ,F}R^{4/3+\varepsilon }$ for any fixed $\varepsilon >0$, subject to a suitable hypothesis on the size of the rank of elliptic curves. For the proof one counts points on the cubic curves obtained from hyperplane sections of the surface $F=0$.

Cubic Surface, Rational Points, Height, Upper Bound, Elliptic Curve, Rank
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