Soient $F[W,X,Y,Z]$ une forme cubique rationnelle et $N^{(0)}(R)$ le nombre de zéros rationnels de $F$ de hauteur inférieure ou égale à $R$, qui ne sont sur aucune des droites rationnelles de la surface $F=0$. Nous montrons que $N^{(0)}(R)\ll _{\varepsilon ,F}R^{4/3+\varepsilon }$ pour tout réel fixé $\epsilon >0$, sous une hypothèse sur la taille du rang des courbes elliptiques. Pour la démonstration on compte les points sur les courbes cubiques obtenues comme sections hyperplanes de la surface $F=0$.