En développant des méthodes d'intégration complexe, nous établissons une formule asymptotique très précise sur le nombre de points de hauteur inférieure à $X$ d'une certaine variété torique. Nous estimons le cardinal $V(X):= \mathop {\hbox {card}}\{ (x,y,z,t)\in (\mathbb N\cap [1,X])^4 \,: \, (x,y,z,t)=1 , \; xyz=t^3\}.$ Soit $N(X):=(\log X)^{3/5} (\log _2X)^{-1/5}$. Alors il existe un polynôme $Q$ de $\mathbb R [X]$ de degré 6 et une constante $c>0$ tels que l'on ait, pour $X$ tendant vers l'infini, l'estimation $V(X)=X Q(\log X)+O\big (X^{1-1/8}\exp \{-cN(X) \}\big ) $ De plus, le coefficient dominant de $Q$ est égal à $ \frac {1}{4 \times 6!} \prod _{p}\Big \{ \Big (1-\frac {1}{p}\Big )^7\Big ( 1+\frac {7}{p} +\frac {1}{ p^2}\Big )\Big \}.$