SMF

Terme principal de la fonction zêta des hauteurs et torseurs universels

Emmanuel PEYRE
     
                
  • Année : 1998
  • Tome : 251
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : Primaire 14G05; secondaires 14L30, 11D72
  • Pages : 259-298
  • DOI : 10.24033/ast.413

Soient $V$ une variété de Fano et $\mathbf H$ un système de hauteurs d'Arakelov définissant un accouplement entre le groupe de Picard $\mathop {\hbox {Pic}}V$ et les points rationnels de $V$ à valeur dans $\mathbf R$. Soit $\zeta _{\mathbf H}$ la fonction zêta associée sur $\mathop {\hbox {Pic}}V\otimes \mathbf C$. Batyrev, Manin et Tschinkel ont conjecturé que cette fonction est holomorphe sur un cône de sommet le faisceau anticanonique $\omega _V^{-1}$. Il est en outre possible de donner une expression conjecturale du terme principal de cette fonction $\zeta _{\mathbf H}$ au voisinage de ce sommet. Le but de ce texte est de montrer comment cette expression conjecturale peut s'écrire naturellement en passant aux torseurs universels au-dessus de $V$.

Let $V$ be a Fano variety and $\mathbf H$ a system of Arakelov's heights which defines a pairing between the Picard group $\mathop {\hbox {Pic}}V$ and the set of rational points of $V$ with values in $\mathbf R$. Let $\zeta _{\mathbf H}$ be the corresponding zeta function on $\mathop {\hbox {Pic}}V\otimes \mathbf C$. Batyrev, Manin and Tschinkel conjectured that this function is holomorphic on a cone with appex at the anticanonical sheaf $\omega _V^{-1}$. Moreover it is possible to give a conjectural formula for the principal term of this function in a neighbourhood of this point. The aim of this paper is to give new evidence for this formula by lifting it to the universal torsors over $V$.



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