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Tamagawa numbers of polarized algebraic varieties

Tamagawa numbers of polarized algebraic varieties

Victor V. BATYREV, Yuri TSCHINKEL
     
                
  • Année : 1998
  • Tome : 251
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary 11G35; Secondary 14G05, 14G10
  • Pages : 299-340
  • DOI : 10.24033/ast.414

Soit ${\mathcal L} = (L, \| \cdot \|_v)$ un faisceau inversible ample muni de métriques au-dessus d'une variété algébrique lisse quasi-projective $V$ sur un corps de nombres $F$. Notons $N(V,{\mathcal L},B)$ le nombre de points rationnels de $V$ ayant une $\mathcal L$-hauteur $\leq B$. Dans ce texte nous considérons le problème de l'interprétation géométrique et arithmétique du comportement asymptotique de $N(V,{\mathcal L},B)$ lorsque $B \rightarrow \infty $ à la lumière de conjectures récentes de Fujita concernant le programme des modèles minimaux pour les variétés algébriques polarisées. Nous introduisons également des notions de variétés $\mathcal L$-primitives et de fibrations $\mathcal L$-primitives. Pour toute variété $\mathcal L$-primitive $V$ sur $F$ nous proposons une méthode pour définir un nombre de Tamagawa adélique $\tau _{\mathcal L}(V)$ qui est une généralisation du nombre de Tamagawa $\tau (V)$ défini par Peyre pour des variétés de Fano lisses. Notre méthode nous permet de construire des nombres de Tamagawa pour des $\bf Q$-variétés de Fano ayant au plus des singularités canoniques. Dans une série d'exemples de variétés polarisées lisses et de variétés de Fano singulières nous montrons que nos nombres de Tamagawa rendent compte de la dépendance du comportement asymptotique de $N(V,{\mathcal L},B)$ en fonction du choix des métriques $v$-adiques sur $\mathcal L$.

Let ${\mathcal L} = (L, \| \cdot \|_v)$ be an ample metrized invertible sheaf on a smooth quasi-projective algebraic variety $V$ over a number field $F$. Denote by $N(V,{\mathcal L},B)$ the number of rational points in $V$ having $\mathcal L$-height $\leq B$. In this paper we consider the problem of a geometric and arithmetic interpretation of the asymptotic for $N(V,{\mathcal L},B)$ as $B \rightarrow \infty $ in connection with recent conjectures of Fujita concerning the Minimal Model Program for polarized algebraic varieties. We introduce the notions of $\mathcal L$-primitive varieties and $\mathcal L$-primitive fibrations. For $\mathcal L$-primitive varieties $V$ over $F$ we propose a method to define an adelic Tamagawa number $\tau _{\mathcal L}(V)$ which is a generalization of the Tamagawa number $\tau (V)$ introduced by Peyre for smooth Fano varieties. Our method allows us to construct Tamagawa numbers for $\bf Q$-Fano varieties with at worst canonical singularities. In a series of examples of smooth polarized varieties and singular Fano varieties we show that our Tamagawa numbers express the dependence of the asymptotic of $N(V,{\mathcal L},B)$ on the choice of $v$-adic metrics on $\mathcal L$.

Rational points, height zeta functions, Tamagawa numbers


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