SMF

Difféomorphismes de Smale des surfaces

Smale diffeormorphisms of surfaces

C. BONATTI et R. LANGEVIN avec la collaboration de E. JEANDENANS
  • Année : 1998
  • Tome : 250
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 58F15, 58F09, 58F12
  • Nb. de pages : 243
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.405
Ce volume est consacré aux difféomorphismes $C^1$-structurellement stables (appelés ici difféomorphismes de Smale) des surfaces compactes. Le résultat principal montre que leur dynamique topologique globale (c'est à dire leur e de conjugaison topologique) admet une présentation combinatoire finie. Pour cela nous considérons les ensembles hyperboliques saturés (c'est à dire égaux à l'intersection de leurs variétés invariantes) et nous construisons un voisinage invariant canonique (à conjugaison près) de ces ensembles (leur domaine). Nous montrons alors que la dynamique en restriction à un domaine est caractérisée par le type géométrique d'une partition de Markov de l'ensemble hyperbolique saturé : il s'agit d'une combinatoire décrivant comment (ordre, position et sens) l'image d'un rectangle de la partition coupe les rectangles de cette partition. La dynamique globale est alors obtenue en recollant les domaines le long de leur bord. L'une des clefs de la longue démonstration du résultat principal est une analyse détaillée du dessin des courbes invariantes des difféomorphismes de Smale des surfaces (c'est à dire de leur position topologique dans la surface). En corollaire du résultat principal, nous montrons que le dessin des courbes invariantes caractérise en grande partie la dynamique topologique. Certains types géométriques abstraits ne correspondent pas à des difféomorphismes de Smale de surfaces compactes. Nous définissons le genre d'un type géométrique abstrait, qui est un minorant du genre de toute surface compacte sur laquelle on peut réaliser le type géométrique comme partition de Markov d'un ensemble hyperbolique saturé ; nous caractérisons alors les types géométriques de genre fini.
This work is devoted to the $C^1$-structurally stable diffeomorphisms (called here Smale diffeomorphisms) of compact surfaces. The main result consists in a finite combinatorial presentation of the global topological dynamics (i.e. the of topological conjugacy) of Smale diffeomorphisms. For that we consider saturated hyperbolic sets (i.e. hyperbolic sets which are equal to the intersection of their invariants manifolds) and we build some canonical (up to conjugacy) invariant neighbourhood (the domain) of these saturated sets. Then we prove that the dynamics restricted to the domaine is characterized by the geometrical type of some Markov partition of the hyperbolic set : it is a simple combinatorics describing in which order, position and direction the image of some rectangle of the Markov partition crosses the rectangles. Then the global dynamic is obtained by gluing the domains along their boundary. One important step of the proof consists in a precise analysis of the topological position (the pattern) of the invariant curves of the Smale diffeomorphisms. As a corollary of the main result we get that the pattern of the invariant curves essentially characterizes the dynamics on the domains. Some of the abstract geometrical types do not correspond to any Smale diffeomorphisms on compact surfaces. We define the genus of a type, as a minorant of the genus of any compact surface on which the type can be realized as the geometrical type of a Markov partition of some saturated hyperbolic set ; then we characterize the geometrical types of finite genus.
surfaces compactes, difféomorphismes, hyperbolique, partition de Markov, ification
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