SMF

Intégration sur les variétés $p$-adiques

Integration on $p$-adic varieties

Pierre COLMEZ
Intégration sur les variétés $p$-adiques
  • Année : 1998
  • Tome : 248
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 115, 14H, 14K, 14L, 30F, 30G, 32J
  • Nb. de pages : 163
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.403

Dans ce volume, nous montrons qu'il y a essentiellement une seule manière d'intégrer une $1$-forme différentielle fermée sur une variété algébrique lisse définie sur un corps $p$-adique. Cette théorie de l'intégration $p$-adique, contrairement à celle développée par Coleman, ne suppose pas d'hypothèses de bonne réduction des variétés que l'on considère et permet d'étendre au cas général un certain nombre de théorèmes démontrés par Coleman dans le cas de bonne réduction ; en particulier, la construction des périodes $p$-adiques des variétés abéliennes et la loi de réciprocité pour les formes différentielles de troisième espèce sur les courbes. L'intérêt d'avoir une théorie qui marche pour tous les nombres premiers est de pouvoir adéliser certaines constructions. Par exemple, si $X$ est une courbe algébrique définie sur un corps de nombres, nous contruisons de manière purement analytique un accouplement sur les diviseurs de degré $0$ de $X$ en utilisant des fonctions de Green adéliques et à partir duquel, on peut retrouver la hauteur de Néron-Tate et les hauteurs $p$-adiques construites par Gross et Coleman dans le cas de bonne réduction. Ce volume ne contient donc pas à proprement parler d'énoncé nouveau, mais essaie de faire la synthèse entre plusieurs points de vue ; en particulier, la construction adélique des hauteurs peut être vue comme une synthèse entre le point de vue de Néron et celui de Gross et Coleman.

We show that there is a unique “reasonable” way of integrating closed $1$-forms on smooth algebraic varieties defined over a $p$-adic field. In contrast with the theory developed by Coleman, this $p$-adic integration does not require that the varieties under consideration have good reduction and can be used to extend to the general case several results obtained by Coleman in the case of good reduction ; in particular the construction of $p$-adic periods of abelian varieties and the reciprocity law for differentials of the third kind. Having a theory which works for all primes can be used to adelize certain constructions. For example, if $X$ is a smooth and proper algebraic curve defined over a number field, we define, in a purely analytic way, a pairing between divisors of degree $0$ using adelic Green functions and from which one can recover the Néron-Tate height pairing and $p$-adic analogues considered by Gross and Coleman in the case of good reduction.

Intégrale abélienne, période complexe, période $p$-adique, extension universelle, variété abélienne, jacobienne, fonction de Green, fonctions thêta, hauteurs de Néron-Tate
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