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Geometry of $q$-Hypergeometric Functions, Quantum Affine Algebras and Elliptic Quantum Groups

Geometry of $q$-Hypergeometric Functions, Quantum Affine Algebras and Elliptic Quantum Groups

V. Tarasov,A. Varchenko
  • Année : 1997
  • Tome : 246
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 17~B~37, 17~B~65, 33~D~60, 33~D~70, 33~D~80, 81~R~10, 81~R~50
  • Nb. de pages : 139
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.401
L'équation de Knizhnik-Zamolodchikov (qKZ) trigonométrique quantifiée associée au groupe quantique $U_q(\mathfrak {sl}_2)$ est un système linéaire d'équations aux différences finies à valeurs dans un produit tensoriel de $U_q(\mathfrak {sl}_2)$-modules de Verma. Nous résolvons cette équation en terme de fonctions $q$-hypergéométriques multidimensionnelles et définissons un isomorphisme naturel entre l'espace des solutions et le produit tensoriel des modules de Verma d'évaluation correspondants sur le groupe quantique elliptique $E_{\rho ,\gamma }(\mathfrak {sl}_2)$, les paramètres $\rho $ et $\gamma $ étant reliés aux paramètres $q$ du groupe quantique elliptique $U_q(\mathfrak {sl}_2)$ et $p$ de l'équation qKZ par les relations $p=e^{2\pi i\rho }$ et $q=e^{-2\pi i\gamma }$. Nous construisons des solutions asymptotiques qui sont associées à des secteurs asymptotiques convenables et calculons les fonctions de transition entre les solutions asymptotiques en fonction des $R$-matrices elliptiques dynamiques. Cette description des fonctions de transition relie la théorie des représentations de l'algèbre de lacets quantique $U_q(\widetilde {\mathfrak {gl}_2})$ à celle du groupe quantique elliptique $E_{\rho ,\gamma }(\mathfrak {sl}_2)$ et est analogue au théorème de Kohno-Drinfeld concernant le groupe de monodromie de l'équation différentielle de Knizhnik-Zamolodchikov. Pour établir ces résultats nous construisons une connexion de Gauss-Manin discrète, en particulier un système local discret convenable, des groupes d'homologie et de cohomologie à coefficients dans ce système local, et identifions une équation aux différences associée à ces données à l'équation qKZ.
The trigonometric quantized Knizhnik-Zamolodchikov (qKZ) equation associated with the quantum group $U_q(\mathfrak {sl}_2)$ is a system of linear difference equations with values in a tensor product of $U_q(\mathfrak {sl}_2)$ Verma modules. We solve the equation in terms of multidimensional $q$-hypergeometric functions and define a natural isomorphism of the space of solutions and the tensor product of the corresponding evaluation Verma modules over the elliptic quantum group $E_{\rho ,\gamma }(\mathfrak {sl}_2)$ where parameters $\rho $ and $\gamma $ are related to the parameter $q$ of the quantum group $U_q(\mathfrak {sl}_2)$ and the step $p$ of the qKZ equation via $p=e^{2\pi i\rho }$ and $q=e^{-2\pi i\gamma }$. We construct asymptotic solutions associated with suitable asymptotic zones and compute the transition functions between the asymptotic solutions in terms of the dynamical elliptic $R$-matrices. This description of the transition functions gives a connection between representation theories of the quantum loop algebra $U_q(\widetilde {\mathfrak {gl}_2})$ and the elliptic quantum group $E_{\rho ,\gamma }(\mathfrak {sl}_2)$ and is analogous to the Kohno-Drinfeld theorem on the monodromy group of the differential Knizhnik-Zamolodchikov equation. In order to establish these results we construct a discrete Gauss-Manin connection, in particular, a suitable discrete local system, discrete homology and cohomology groups with coefficients in this local system, and identify an associated difference equation with the qKZ equation.
Discrete local system, discrete Gauss-Manin connection, quantized Knizhnik-Zamolodchikov equation, tensor coordinates, asymptotic solutions, transition functions
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