SMF

Espaces $L_p$ non-commutatifs à valeurs vectorielles et applications complètement $p$-sommantes

Non-commutative vector valued $L_p$-spaces and completely $p$-summing maps

Gilles PISIER
Espaces $L_p$ non-commutatifs à valeurs vectorielles et applications complètement $p$-sommantes
  • Année : 1998
  • Tome : 247
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 46L50, 46E40, 46B70, 47B10, 47D15
  • Nb. de pages : 137
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.402

Nous introduisons un analogue non-commutatif de la notion d'espace $L_p$ à valeurs vectorielles dans la catégorie des espaces d'opérateurs. Plus précisément, étant donnés une algèbre de von Neumann $M$, munie d'une trace normale semie-finie et fidèle et un espace d'opérateurs $E$, nous introduisons l'espace $L_p(M,{\varphi };E)$ qui est une version $E$-valuée d'espaces $L_p$ non commutatif et nous prouvons les propriétés fondamentales que l'on est en droit d'attendre d'une telle extension (e.g. Fubini, dualité. . .). Il y a deux restrictions importantes pour que cette théorie tourne bien : d'abord $M$ doit être injective, ensuite $E$ ne peut pas être simplement un espace de Banach, il doit être muni d'une structure d'espace d'opérateurs et toutes les propriétés structurelles (e.g. la dualité) doivent être formulées dans la catégorie des espaces d'opérateurs. Cela conduit naturellement à une théorie des applications “complètement $p$-sommantes” entre espaces d'opérateurs, analogue à la théorie de Grothendieck-Pietsch-Kwapień (i.e les applications absolument $p$-sommantes) pour les Banach. Comme application, nous obtenons une caractérisation des applications qui se factorisent par la version “espace d'opérateurs” de l'espace de Hilbert (= l'espace $OH$). Plus généralement, nous étudions les applications entre espaces d'opérateurs qui se factorisent à travers un espace $L_p$-non commutatif (ou bien à travers un ultraproduit de tels espaces) dans le langage des applications complètement $p$-sommantes. Dans ce cadre, nous considérons aussi les factorisations (complètement bornées) à travers un sous-espace (ou un quotient de sous-espace) d'un espace $L_p$ non commutatif.

We introduce a non-commutative analog of Banach space valued $L_p$-spaces in the category of operator spaces. Thus, given a von Neumann algebra $M$ equipped with a faithful normal semi-finite trace $\varphi $ and an operator space $E$, we introduce the space $L_p(M,\varphi ;E)$, which is an $E$-valued version of non-commutative $L_p$, and we prove the basic properties one should expect of such an extension (e.g. Fubini, duality, $\ldots $). There are two important restrictions for the theory to be satisfactory : first $M$ should be injective, secondly $E$ cannot be just a Banach space, it should be given with an operator space structure and all the stability properties (e.g. duality) should be formulated in the category of operator spaces. This leads naturally to a theory of “completely $p$-summing maps" between operator spaces, analogous to the Grothendieck-Pietsch-Kwapień theory (i.e. “absolutely $p$-summing maps") for Banach spaces. As an application, we obtain a characterization of maps factoring through the operator space version of Hilbert space. More generally, we study the mappings between operator spaces which factor through a non-commutative $L_p$-space (or through an ultraproduct of them) using completely $p$-summing maps. In this setting, we also discuss the factorization through subspaces, or through quotients of subspaces of $L_p$-spaces.

Non-commutative $L_p$-space, Schatten $p$- , completely bounded map, operator space, non-commutative martingale inequalities, Fourier multipliers, Schur multipliers, free groups
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