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Problème de la racine carrée pour les opérateurs sous forme divergente et sujets connexes

Square root problem for divergence operators and related topics

P. AUSCHER, P. TCHAMITCHIAN
Problème de la racine carrée pour les opérateurs sous forme divergente et sujets connexes
  • Année : 1998
  • Tome : 249
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary: 35J15, 47A60, 42B25. Secondary: 42B20, 35K10, 47F05, 46G20.
  • Nb. de pages : 174
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.404

Ce travail a pour thème principal le problème de Kato concernant la racine carrée des opérateurs différentiels elliptiques sous forme divergente dans $\mathbb {R}^n$. Pour mener à bien cette étude, nous nous inteéressons à des questions relatives au calcul fonctionnel, aux estimations de noyaux, aux fonctionnelles quadratiques et aux mesures de Carleson associées aux racines carrées. Dans le premier chapitre, nous montrons en un sens précis comment les théorèmes d'Aronson-Nash et de De Giorgi sont équivalents. Dans les deux chapitres centraux, nous tirons parti de développements récents sur le calcul fonctionnel et en analyse harmonique pour proposer un nouveau point de vue sur le problème de Kato qui permet d'unifier les résultats antérieurs et de les généraliser. Enfin, dans le dernier chapitre, nous étudions les transformées de Riesz associées, leur relation aux opérateurs de Calderón-Zygmund et leur comportement sur les espaces $L^p$.

We present in this work recent progress on the square root problem of Kato for differential operators in divergence form on ${\Bbb R}^n$. We discuss topics on functional calculus, heat and resolvent kernel estimates, square function estimates and Carleson measure estimates for square roots. In the first chapter, we show in a quantitative way how the theorems of Aronson-Nash and of De Giorgi are equivalent. In the central chapters, we take advantage of recent development in functional calculus and in harmonic analysis to propose a new point of view on Kato's problem which allows us to unify previous results and extend them. In the last chapter we study the associated Riesz transforms, their relation to Calderón-Zygmund operators and their behavior on $L^p$-spaces.

Second order complex elliptic operators, maximal accretive operators, $H^\infty $-functional calculus, multilinear expansions, Gaussian estimates, Littlewood-Paley-Stein quadratic functionals, Carleson measures, absolutely bounded mean oscillation, Riesz transforms, Calderón-Zygmund operators.
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