Ce travail a pour thème principal le problème de Kato concernant la racine carrée des opérateurs différentiels elliptiques sous forme divergente dans $\mathbb {R}^n$. Pour mener à bien cette étude, nous nous inteéressons à des questions relatives au calcul fonctionnel, aux estimations de noyaux, aux fonctionnelles quadratiques et aux mesures de Carleson associées aux racines carrées. Dans le premier chapitre, nous montrons en un sens précis comment les théorèmes d'Aronson-Nash et de De Giorgi sont équivalents. Dans les deux chapitres centraux, nous tirons parti de développements récents sur le calcul fonctionnel et en analyse harmonique pour proposer un nouveau point de vue sur le problème de Kato qui permet d'unifier les résultats antérieurs et de les généraliser. Enfin, dans le dernier chapitre, nous étudions les transformées de Riesz associées, leur relation aux opérateurs de Calderón-Zygmund et leur comportement sur les espaces $L^p$.