Une classe de cohomologie rigide sur une variété complexe est une classe représentée par un unique courant positif fermé. Un courant positif qui représente une classe rigide est dit rigide. Pour une variété kählerienne compacte $X$, tous les vecteurs propres d'automorphismes hyperboliques agissant sur $H^{1,1}(X)$ qui ont des valeurs propres de valeur absolue différente de un sont des classes rigides. Ces classes sont toujours paraboliques, c'est-à-dire qu'elles sont dans le bord du cône de Kähler et sont de volume nul. Nous étudions les $(1,1)$ classes paraboliques sur les variétés hyperkähleriennes compactes satisfaisant $b_2 \ge 7$. Nous montrons qu'une classe parabolique est rigide si elle n'est pas orthogonale à un vecteur rationnel pour la forme BBF. Cela implique qu'une classe parabolique générale sur une variété hyperkählerienne est rigide.