SMF

Cracktip est un minimum de Mumford-Shah global

Cracktip is a global Mumford-Shah minimizer

Alexis Bonnet, Guy David
  • Année : 2001
  • Tome : 274
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 49K99, 49Q20
  • Nb. de pages : vi+259
  • ISBN : 2-85629-108-2
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.512
Le résultat principal de ce texte est que le couple $(u,K)$ défini par $K={}]-\infty ,0] \subset \mathbb {R}^2$ et $u(r\cos \theta ,r\sin \theta ) = \sqrt { { 2 / \pi } } \ r^{1/2} \sin (\theta /2) \text { pour } r>0 \text { et } -\pi < \theta < \pi $ est un minimum global de la fonctionnelle de Mumford-Shah. Ceci signifie que si $\widetilde K$ est un fermé du plan de mesure de Hausdorff de dimension 1 localement finie, $\widetilde u$ est une fonction définie sur $\mathbb {R}^2 \smallsetminus \widetilde K$ dont la dérivée est dans $L_{\mathrm {loc}}^2 \big ( \mathbb {R}^2 \smallsetminus \widetilde K \big )$, et si le couple $( \widetilde u, \widetilde K)$ coïncide avec $(u,K)$ hors d'un disque $B$, on a $ H^1 (K \cap B) + \int _{B \smallsetminus K } \left \vert { \nabla u }\right \vert ^2 \leq H^1 (\widetilde K \cap B) + \int _{B \smallsetminus G } \left \vert { \nabla \widetilde u }\right \vert ^2 , $ où l'on note $H^1$ la mesure de Hausdorff. On montrera aussi que tout minimum global $(u',K')$ de la fonctionnelle de Mumford-Shah qui est suffisament proche de $(u,K)$ à l'infini lui est équivalent. C'est le cas par exemple si l'une des limites de $(u',K')$ par implosions est égale à $(u,K)$. La démonstration est basée sur une étude détaillée de la fonction harmonique conjuguée de $u'$ et de ses ensembles de niveau. On utilise aussi des techniques d'explosion et la monotonie d'une intégrale d'énergie.
We show that the pair $(u,K)$ given by $K=(-\infty ,0] \subset \mathbb {R}^2$ and $u(r\cos \theta ,r\sin \theta ) = \sqrt { { 2 / \pi } } \ r^{1/2} \sin (\theta /2) \text { for }r>0 \text { and } -\pi < \theta < \pi $ is a global Mumford-Shah minimizer. This means that if $\widetilde K$ is another closed set in the plane with locally finite Hausdorff measure, $\widetilde u$ is a function on $\mathbb {R}^2 \smallsetminus \widetilde K$ with a derivative in $L_{\mathrm {loc}}^2 \big ( \mathbb {R}^2 \smallsetminus \widetilde K \big )$, and the pair $( \widetilde u, \widetilde K )$ coincides with $(u,K)$ out of some disk $B$, then $ H^1 (K \cap B) + \int _{B \smallsetminus K } \left \vert { \nabla u }\right \vert ^2 \leq H^1 (\widetilde K \cap B) + \int _{B \smallsetminus G } \left \vert { \nabla \widetilde u }\right \vert ^2 , $ where $H^1$ denotes Hausdorff measure. We shall also show that every global Mumford-Shah minimizer $(u',K')$ that is sufficiently close to $(u,K)$ near infinity must be equivalent to it. This is the case, for instance, if some blow-in limit of $(u',K')$ equals $(u,K)$. The proofs will be based on a detailed study of the harmonic function $v'$ conjugated to $u'$, and its level sets. We shall also use blow-up techniques and the monotonicity of an energy integral.
Fonctionnelle de Mumford-Shah
Mumford-Shah functional
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