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Transformation de Cayley et modèles de Whittaker généralisés pour les modules irréductibles de plus haut poids

Cayley transform and generalized Whittaker models for irreducible highest weight modules

Hiroshi Yamashita
  • Année : 2001
  • Tome : 273
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary: 22E46; Secondary: 17B10
  • Pages : 81--137
  • DOI : 10.24033/ast.510
Soit $G$ un groupe de Lie connexe simple de type hermitien. On considère les $G$-modules irréductibles admissibles $L(\tau )$ de plus haut poids. Dans cet article, nous étudions les modèles de Whittaker généralisés pour $L(\tau )$ en utilisant certains opérateurs différentiels de type gradient $\mathcal {D}_{\tau ^{\ast }}$ sur l'espace hermitien symétrique $K\backslash G$. Il est montré que chaque $L(\tau )$ apparaît, avec une multiplicité finie et non nulle, dans la représentation de Gelfand-Graev généralisée $\Gamma _{m(\tau )}$ qui est attachée à l'unique orbite ouverte $\mathcal {O}_{m(\tau )}$ (par la correspondance de Kostant-Sekiguchi) dans la variété $\mathcal {V}(L(\tau ))$ associée à $L(\tau )$. On peut analyser intrinsèquement les isomorphismes de $L(\tau )$ dans $\Gamma _{m(\tau )}$ au moyen de la transformation de Cayley qui donne un rapport entre la réalisation de $K\backslash G$ comme domaine borné et celle comme domaine non borné. Si $L(\tau )$ est unitarisable, l'espace $\mathcal {Y}(\tau )$ des homomorphismes infinitésimaux de $L(\tau )$ dans $\Gamma _{m(\tau )}$ s'exprime par le symbole principal à l'origine de l'opérateur différentiel $\mathcal {D}_{\tau ^{\ast }}$. Pour les groupes iques $G=SU(p,q)$, $Sp(n,\mathbb {R})$ et $SO^{\ast }(2n)$, on peut comprendre l'espace $\mathcal {Y}(\tau )$ en utilisant les représentations oscillateur pour les paires duales réductives.
We study the generalized Whittaker models for irreducible admissible highest weight modules $L(\tau )$ for a connected simple Lie group $G$ of Hermitian type, by using certain invariant differential operators ${\mathcal D}_{\tau ^{\ast }}$ of gradient type on the Hermitian symmetric space $K\backslash G$. It is shown that each $L(\tau )$ embeds, with nonzero and finite multiplicity, into the generalized Gelfand-Graev representation $\Gamma _{m(\tau )}$ attached to the unique open orbit ${\mathcal O}_{m(\tau )}$ (through the Kostant-Sekiguchi correspondence) in the associated variety ${\mathcal V}(L(\tau ))$ of $L(\tau )$. The embeddings can be intrinsically analyzed by means of the Cayley transform which carries the bounded realization of $K\backslash G$ to unbounded one. If $L(\tau )$ is unitarizable, the space ${\mathcal Y}(\tau )$ of infinitesimal homomorphisms from $L(\tau )$ into $\Gamma _{m(\tau )}$ can be described in terms of the principal symbol at the origin of the differential operator ${\mathcal D}_{\tau ^{\ast }}$. For the ical groups $G=SU(p,q)$, $Sp(n,\mathbb {R})$ and $SO^{\ast }(2n)$, the space ${\mathcal Y}(\tau )$ is clearly understood through the oscillator representations of reductive dual pairs.
modèle de Whittaker généralisé, module de plus haut poids, orbite nilpotente, opérateur differentiel de type gradient
Generalized Whittaker model, highest weight module, nilpotent orbit, differential operator of gradient type
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