SMF

Le degré de Bernstein et le cycle associé des modules de Harish-Chandra — le cas hermitien symétrique

Bernstein degree and associated cycles of Harish-Chandra modules – Hermitian symmetric case –

Kyo Nishiyama, Hiroyuki Ochiai, Kenji Taniguchi
  • Année : 2001
  • Tome : 273
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary 22E46, 32M15, 14L30, 58J70
  • Pages : 13--80
  • DOI : 10.24033/ast.509
Soit $\tilde {G}$ le double revêtement métaplectique de $Sp(2n, \mathbb {R})$, $U(p, q)$ ou $O^{\ast }(2p)$. Nous étudions les degrés de Bernstein et les cycles associés des représentations irréductibles unitaires de $\tilde {G}$ de plus haut poids, en utilisant la correspondance thêta par paires duales. La première partie de cet article est un résumé des propriétés fondamentales et des résultats connus concernant les degrés de Bernstein et les cycles associés. Notre premier résultat est un théorème de comparaison entre les structures en tant que $K$-modules des deux espaces suivants ; l'un est le relèvement thêta de la représentation évidente, l'autre est l'anneau des fonctions régulières sur la variété associée. Deuxièmement, nous obtenons de manière explicite les valeurs des degrés de quelques petites $K_{\mathbb {C}}$-orbites nilpotentes au moyen de la théorie des représentations. Le résultat principal de cet article est la détermination des cyles associés aux représentations singulières unitaires de plus haut poids, qui sont les relèvements thêta des représentations irréductibles de certains groupes compacts. Dans les démonstrations de ces résultats, la non-multiplicité des sous-groupes sphériques et la stabilité des coefficients de branchement jouent des rôles importants.
Let $\tilde {G}$ be the metaplectic double cover of $Sp(2n, \mathbb {R})$, $U(p, q)$ or $O^{\ast }(2p)$. we study the Bernstein degrees and the associated cycles of the irreducible unitary highest weight representations of $\tilde {G}$, by using the theta correspondence of dual pairs. The first part of this article is a summary of fundamental properties and known results of the Bernstein degrees and the associated cycles. Our first result is a comparison theorem between the $K$-module structures of the following two spaces ; one is the theta lift of the trivial representation and the other is the ring of regular functions on its associated variety. Secondarily, we obtain the explicit values of the degrees of some small nilpotent $K_{\mathbb {C}}$-orbits by means of representation theory. The main result of this article is the determination of the associated cycles of singular unitary highest weight representations, which are the theta lifts of irreducible representations of certain compact groups. In the proofs of these results, the multiplicity free property of spherical subgroups and the stability of the branching coefficients play important roles.
espace hermitien symétrique, représentation de plus haut poids, orbite nilpotente, variété associée, cycle associé, action sans multiplicité, correspondance par paires duales
Hermitian symmetric space, highest weight representation, nilpotent orbit, associated variety, associated cycle, multiplicity-free action, dual pair correspondence
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