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Décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses $\ell $-modulaires de $\mathrm {GL}_{n}(\mathrm {F})$ et de ses formes intérieures

Block decomposition of the category of $\ell $-modular smooth representations of $\mathrm {GL}_{n}(\mathrm {F})$ and its inner forms

Vincent Sécherre, Shaun Stevens
Décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses $\ell $-modulaires de $\mathrm {GL}_{n}(\mathrm {F})$ et de ses formes intérieures
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  • Année : 2016
  • Tome : 49
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22E50.
  • Pages : 669-709
  • DOI : 10.24033/asens.2293
Soit $\mathrm {F}$ un corps commutatif localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle $p$, soit $\mathrm {D}$ une $\mathrm {F}$-algèbre à division centrale de dimension finie et soit $\mathrm {R}$ un corps algébriquement clos de caractéristique différente de $p$. A toute représentation lisse irréductible du groupe $\mathrm {G}=\mathrm {GL}_m(\mathrm {D})$, $m\>1$ à coefficients dans $\mathrm {R}$ correspond une e d'inertie de paires supercuspidales de $\mathrm {G}$. Ceci définit une partition de l'ensemble des es d'isomorphisme de représentations irréductibles de $\mathrm {G}$. Notons $\mathscr {R}(\mathrm {G})$ la catégorie des représentations lisses de $\mathrm {G}$ à coefficients dans $\mathrm {R}$ et, pour toute e d'inertie $\Omega $ de paires supercuspidales de $\mathrm {G}$, notons $\mathscr {R}(\Omega )$ la sous-catégorie formée des représentations lisses dont tous les sous-quotients irréductibles appartiennent au sous-ensemble déterminé par cette e d'inertie. Nous prouvons que $\mathscr {R}(\mathrm {G})$ est le produit des $\mathscr {R}(\Omega )$, où $\Omega $ décrit les es d'inertie de paires supercuspidales de $\mathrm {G}$, et que chaque facteur $\mathscr {R}(\Omega )$ est indécomposable.
Let $\mathrm {F}$ be a nonarchimedean locally compact field of residue characteristic $p$, let $\mathrm {D}$ be a finite dimensional central division $\mathrm {F}$-algebra and let $\mathrm {R}$ be an algebraically closed field of characteristic different from $p$. To any irreducible smooth representation of $\mathrm {G}=\mathrm {GL}_m(\mathrm {D})$, $m\>1$ with coefficients in $\mathrm {R}$, we can attach a uniquely determined inertial of supercuspidal pairs of $\mathrm {G}$. This provides us with a partition of the set of all isomorphism es of irreducible representations of $\mathrm {G}$. We write $\mathscr {R}(\mathrm {G})$ for the category of all smooth representations of $\mathrm {G}$ with coefficients in $\mathrm {R}$. To any inertial $\Omega $ of supercuspidal pairs of $\mathrm {G}$, we can attach the subcategory $\mathscr {R}(\Omega )$ made of smooth representations all of whose irreducible subquotients are in the subset determined by this inertial . We prove that the category $\mathscr {R}(\mathrm {G})$ decomposes into the product of the $\mathscr {R}(\Omega )$'s, where $\Omega $ ranges over all possible inertial of supercuspidal pairs of $\mathrm {G}$, and that each summand $\mathscr {R}(\Omega )$ is indecomposable.
Représentations modulaires des groupes réductifs $p$-adiques, types semi-simples, es inertielles, support supercuspidal, blocs.
Modular representations of $p$-adic reductive groups, semisimple types, Inertial es, supercuspidal support, blocks.
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