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Dérive d'une marche aléatoire sur un revêtement abélien d'un espace homogène de volume fini

Drift of random walks on abelian covers of finite volume homogeneous spaces

Timothée BÉNARD
Dérive d'une marche aléatoire sur un revêtement abélien d'un espace homogène de volume fini
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 3
  • Tome : 151
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22F30, 37A50
  • Pages : 407-434
  • DOI : 10.24033/bsmf.2872

Soit G un groupe de Lie réel connexe, Λ0G un réseau sans torsion dans G, et ΛΛ0 un sous-groupe distingué tel que Λ0/ΛZd. Nous étudions la dérive d'une marche aléatoire sur le Zd-revêtement ΛG de l'espace homogène de volume fini Λ0G. Cette marche est définie par une mesure de probabilité  Zariski-dense à support compact μ sur G.  Nous supposons dans un premier temps que l'application de revêtement ΛGΛ0G ne déroule pas les pointes de   Λ0G et calculons la dérive en tout point de départ. Ensuite, nous travaillons sans cette hypothèse et décrivons la dérive en presque tout point. Le cas des variétés hyperboliques de dimension 2 se démarque par des comportements non convergents. La récurrence presque-sûre des trajectoires est aussi caractérisée dans ce contexte.

Let G be a connected simple real Lie group, Λ0G a lattice without torsion and ΛΛ0 a normal subgroup such that Λ0/ΛZd. We study the drift of a random walk on the Zd-cover ΛG of  the finite volume homogeneous space Λ0G. This walk is defined by a Zariski-dense compactly supported probability measure μ on G.  We first assume the covering map ΛGΛ0G does not unfold any cusp of  Λ0G and compute the drift at every starting point. Then we remove this assumption and describe the drift almost everywhere. The case of hyperbolic manifolds of dimension 2 stands out with non-converging type behaviors. The recurrence of the trajectories is also characterized in this context.

Marche aléatoire, loi des grands nombres, variété hyperbolique
Random walk, law of large numbers, hyperbolic manifold

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