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Dérive d'une marche aléatoire sur un revêtement abélien d'un espace homogène de volume fini

Drift of random walks on abelian covers of finite volume homogeneous spaces

Timothée BÉNARD
Dérive d'une marche aléatoire sur un revêtement abélien d'un espace homogène de volume fini
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 3
  • Tome : 151
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22F30, 37A50
  • Pages : 407-434
  • DOI : 10.24033/bsmf.2872

Soit $G$ un groupe de Lie réel connexe, $\Lambda_{0}\subseteq G$ un réseau sans torsion dans $G$, et $\Lambda \unlhd \Lambda_{0}$ un sous-groupe distingué tel que $\Lambda_{0}/\Lambda\simeq \mathbb{Z}^d$. Nous étudions la dérive d'une marche aléatoire sur le $\mathbb{Z}^d$-revêtement $\Lambda\setminus G$ de l'espace homogène de volume fini $\Lambda_{0}\setminus G$. Cette marche est définie par une mesure de probabilité  Zariski-dense à support compact $\mu$ sur $G$.  Nous supposons dans un premier temps que l'application de revêtement $\Lambda\setminus G\rightarrow \Lambda_{0}\setminus G$ ne déroule pas les pointes de   $\Lambda_{0}\setminus G$ et calculons la dérive en tout point de départ. Ensuite, nous travaillons sans cette hypothèse et décrivons la dérive en presque tout point. Le cas des variétés hyperboliques de dimension 2 se démarque par des comportements non convergents. La récurrence presque-sûre des trajectoires est aussi caractérisée dans ce contexte.

Let $G$ be a connected simple real Lie group, $\Lambda_{0}\subseteq G$ a lattice without torsion and $\Lambda \unlhd \Lambda_{0}$ a normal subgroup such that $\Lambda_{0}/\Lambda\simeq \mathbb{Z}^d$. We study the drift of a random walk on the $\mathbb{Z}^d$-cover $\Lambda\setminus G$ of  the finite volume homogeneous space $\Lambda_{0}\setminus G$. This walk is defined by a Zariski-dense compactly supported probability measure $\mu$ on $G$.  We first assume the covering map $\Lambda\setminus G\rightarrow \Lambda_{0}\setminus G$ does not unfold any cusp of  $\Lambda_{0}\setminus G$ and compute the drift at every starting point. Then we remove this assumption and describe the drift almost everywhere. The case of hyperbolic manifolds of dimension 2 stands out with non-converging type behaviors. The recurrence of the trajectories is also characterized in this context.

Marche aléatoire, loi des grands nombres, variété hyperbolique
Random walk, law of large numbers, hyperbolic manifold

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