En 1984, Deligne a montré que pour tout nombre premier $p$, la réduction modulo $p$ de la diagonale d'une série formelle algébrique de plusieurs variables à  coefficients entiers est algébrique sur le corps des fractions rationnelles à coefficients dans $\mathbb{F}_p$. De plus, il a suggéré que les degrés d'algébricité  $d_p$ de ces fonctions ne devraient croître qu'au plus polynomialement en fonction de $p$. Dans cet article, nous présentons une nouvelle preuve du théorème de Deligne qui est  élémentaire et permet d'établir la première borne générale polynomiale avec un degré explicite et raisonnable.