L'approche variationnelle, développée antérieurement par le premier auteur pour construire des empilements de cercles immergés finis, fournit une méthode d'approximation des immersions conformes d'un compact du plan au moyen d'applications affines par morceaux définies à l'aide d'empilements de cercles. Dans le cas de l'exponentielle complexe, on dispose d'une formule exacte pour les rayons, ce qui donne une nouvelle interprétation des spirales de Doyle.