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Existence globale et unicité pour le problème stable de Muskat 2D dans $H^{3/2}$

Global well-posedness for the 2D stable Muskat problem in $H^{3/2}$

Diego CÓRDOBA & Omar LAZAR
Existence globale et unicité  pour  le problème stable de Muskat 2D dans $H^{3/2}$
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 5
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35A01, 35D30, 35D35, 35Q35, 35Q86
  • Pages : 1315-1351
  • DOI : 10.24033/asens.2483

Nous prouvons un résultat d'existence globale d'une unique solution forte dans $H^{5/2}$ en supposant que la semi-norme  $\dot H^{3/2}$ soit petite pour le problème de Muskat 2D. Ceci permet donc d'avoir des interfaces dont la pente peut être arbitrairement grande et finie (grâce au principe du maximum $L^2$). La preuve est basée sur l'introduction d'une nouvelle formulation de l'équation de Muskat en termes d'intégrales oscillantes. Ensuite, une utilisation minutieuse d'inégalités d'interpolations dans des espaces de Besov homogènes permet de clore les estimations {\emph{a priori}}

We prove a global existence result of a unique strong solution in $H^{5/2}$ with small $\dot H^{3/2}$ semi-norm for the 2D Muskat problem. Hence, allowing the interface to have arbitrary large finite slopes and finite energy (thanks to the $L^{2}$ maximum principle). The proof is based on the use of a new formulation of the Muskat equation that involves oscillatory terms. Then, a careful use of interpolation inequalities in homogeneneous Besov spaces allows us to close the a priori estimates.

Interface fluide, équation de Muskat, solutions fortes globales, critère de régularité, espaces de Besov
Fluid interface, Muskat equation, global strong solutions, regularity criteria, Besov spaces

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