Pour un entrelacs en bande $L$ dans le produit d'une surface par un cercle, les invariants de Witten-Reshetikhin-Turaev sont des invariants topologiques dépendant d'une suite de racines $2p$-ièmes de l'unité $(A_p)_{p\in 2\mathbb{N}}$. Nous montrons qu'il existe un polynôme $P_L$ tel que ces invariants normalisés convergent vers $P_L(u)$ quand $A_p$ tend vers $u$, sauf pour un nombre fini de $u$ dans $S^1$. Ceci est relié à la conjecture AMU qui prédit que les courbes non simples sont d'ordre infini dans la représentation quantique (en niveau assez grand). En estimant le degré de $P_L$, on exhibe certaines courbes qui satisfont la conjecture. En chemin, nous prouvons la conjecture asymptotique de Witten pour les entrelacs dans le produit d'une surface par un cercle.