Nous introduisons l'approximabilité-drapeau d'un corps convexe qui mesure la difficulté de l'approcher par des polytopes convexes. Nous montrons que l'approximabilité-drapeau d'un corps convexe est égale à la moitié de l'entropie volumique de sa géométrie de Hilbert associée et que les deux invariants sont maximaux lorsque le corps convexe est une boule euclidienne. Nous calculons également le volume asymptotique de la géométrie de Hilbert d'un polytope convexe, ce qui nous permet de démontrer que les simplexes ont le volume asymptotique minimal