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Exposé Bourbaki 1046 : Concentration compacité à la Kenig-Merle

Exposé Bourbaki 1046 : Restriction of representations and projection of coadjoint orbits

Pierre RAPHAËL
Exposé Bourbaki 1046 : Concentration compacité à la Kenig-Merle
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  • Année : 2013
  • Tome : 352
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35Qxx
  • Pages : 121-146

Dans leur article de référence de 2006 [C.E. Kenig, F. Merle, Global well-posedness, scattering and blow-up for the energy-critical, focusing, non-linear Schrödinger equation in the radial case, Invent. Math. 166 (2006), 645-675], Kenig et Merle obtiennent la première démonstration critique de classification de l'onde solitaire pour une équation dispersive nonlinéaire critique: cette onde exceptionnelle est le premier objet nonlinéaire, car c'est la plus petite dynamique compacte aux symétries du flot près. Je tenterai de tracer l'historique et de montrer quelques ramifications de ce théorème fondamental qui s'inscrit au sein d'une activité internationale très importante, et d'illustrer l'influence de plusieurs domaines de l'analyse, et entre autre une idée simple et profonde issue des techniques variationnelles des années 1980 : la méthode de concentration compacité de P.-L. Lions.

Kenig and Merle obtain in the breakthrough paper [C.E. Kenig, F. Merle, Global well-posedness, scattering and blow-up for the energy-critical, focusing, non-linear Schrödinger equation in the radial case}, Invent. Math. 166 (2006), 645-675] , the first critical proof of  classification of the ground state solitary wave for a critical nonlinear dispersive equation: this exceptional wave is the first nonlinear object because it is the smallest compact object up to the symmetries of the flow. I will briefly recall the history of this problem and illustrate some consequences of this result which lie at the heart of an important international activity. I will also show how the proof involves ideas from various domains of analysis, among which a simple and robust tool going back to the variational methods of the 80's: P.-L. Lions' concentration compactness argument.

Équations différentielles partielles
Partial differential equations
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