Les systèmes linéaires sous-déterminés, avec plus d'inconnues que d'équations, sont très courants dans de nombreux domaines d'applications des mathématiques. Pour pallier l'absence de solutions uniques, certaines structures, dites de parcimonie, peuvent être imposées sur les solutions, comme le fait d'avoir un nombre maximal de composantes non nulles. Cette simple hypothèse donne lieu à une théorie riche mettant en jeu des concepts de convexité et de matrices aléatoires. Dans cet exposé, je présenterai les travaux d'Emmanuel Candès sur l'échantillonnage compressé et la complétion de matrices, qui sont deux instantiations marquantes de ces systèmes sous-déterminés.