Dans le douzième problème de sa fameuse liste, Hilbert propose de construire une théorie explicite du corps de es pour tous les corps de nombres. On présente ici la solution donnée par Carlitz et Hayes dans le cas des corps de fonctions des courbes algébriques définies sur un corps fini. Les modules de Carlitz–Hayes conduisent à une théorie des extensions cyclotomiques dite “géométrique” qui résout le problème de Hilbert. Par ailleurs, Carlitz et Goss ont introduit, pour les anneaux de définition des modules de Carlitz–Hayes, un nouveau type de fonctions zêta que la théorie “cyclotomique” permet de comparer aux fonctions iques d'Artin et Weil.