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Exposé Bourbaki 877 : Foncteurs polynomiaux sur les corps finis

Exposé Bourbaki 877 : Polynomial functors over finite fields

Teimuraz PIRASHVILI
Exposé Bourbaki 877 : Foncteurs polynomiaux sur les corps finis
  • Année : 2002
  • Tome : 276
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 19D55, 55S10, 16G10
  • Pages : 369-388
  • DOI : 10.24033/ast.527

Pour les corps finis, il y a une différence essentielle entre applications polynomiales et polynômes. Ceci conduit à deux versions différentes d'endofoncteurs polynomiaux d'espaces vectoriels de dimension finie. La première est étroitement reliée aux modules instables sur l'algèbre de Steenrod, alors que la seconde est reliée aux représentations des groupes algébriques. Des travaux récents de Betley, Franjou, Friedlander, Suslin et autres conduisent à un théorème de comparaison entre les groupes Ext associés. Ces résultats sont la clé pour les résolutions de la conjecture de Betley-Pirashvili faisant intervenir la $K$-théorie stable de Waldhausen et pour le calcul de la cohomologie à coefficients tordus du groupe linéaire sur un corps fini.

For finite fields there is an essential difference between polynomial maps and polynomials. This yields two different versions of polynomial endofunctors of finite vector spaces. The first one is closely related to unstable modules over Steenrod algebra, while the second one is related to representations of algebraic groups. Recent works by Betley, Franjou, Friedlander, Suslin and others lead to a comparaison theorem between associated Ext-groups. These results are a key for the solutions of Betley-Pirashvili conjecture involving the stable $K$-theory of Waldhausen and for computation of cohomology of the general linear group over finite fields with twisted coefficients.

Foncteurs polynomiaux, algèbre de Steenrod, algèbre de Schur, représentations polynomiales, groupe linéaire général, $K$-théorie stable
Polynomial functors, Steenrod algebra, Schur algebra, polynomial representations, general linear group, stable K-theory
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