Récemment, B. Green et T. Tao ont montré que : l'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques de toutes longueurs répondant ainsi à une question ancienne à la formulation particulièrement simple. La démonstration n'utilise aucune des méthodes « transcendantes » ni aucun des grands théorèmes de la théorie analytique des nombres. Elle est écrite dans un esprit proche de celui de la théorie ergodique, en particulier de celui de la preuve par Furstenberg du théorème de Szemerédi, mais elle n'utilise aucun théorème provenant de cette théorie. La méthode peut ainsi être considérée comme « élémentaire », ce qui ne veut pas dire facile. On se propose de présenter l'organisation générale de la preuve sans développer les calculs.