Nous présentons la preuve de la conjecture de Poincaré, concernant les variétés compactes simplement connexes de dimension $3$, proposée par G. Perel'man. Elle repose sur l'étude de l'évolution de métriques riemanniennes sous le flot de la courbure de Ricci et sur les travaux antérieurs de R. Hamilton. Après une introduction aux techniques analytiques et géométriques développées par R. Hamilton, nous tentons de décrire la méthode de chirurgie métrique utilisée par G. Perel'man pour franchir les temps pour lesquels la courbure scalaire tend vers l'infini dans certaines parties de la variété. La preuve de la conjecture de Poincaré repose alors sur la preuve de l'extinction en temps fini du flot avec chirurgies, sous certaines hypothèses, que nous présentons dans la version élaborée par T. Colding et W. Minicozzi.