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Exposé Bourbaki 950 : Géométrie conforme en dimension $4$ : ce que l'analyse nous apprend

Exposé Bourbaki 950 : Conformal $4$-dimensional Geometry : What analysis has to teach us

Christophe MARGERIN
Exposé Bourbaki 950 : Géométrie conforme en dimension $4$ : ce que l'analyse nous apprend
  • Année : 2006
  • Tome : 307
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53C21, 53C20, 58J60, 58J05, 35J60.
  • Pages : 415-468
  • DOI : 10.24033/ast.713

Cet article présente les idées, les outils et les résultats qui ont permis à Chang S.-Y. A., M. Gursky et Yang P. de donner une caractérisation intégrale conforme de la sphère standard en dimension 4. Nous démarrons avec une généralisation à cette dimension de la formule de Polyakov pour les déterminants régularisés, que nous utilisons ensuite pour résoudre des problèmes du type « Yamabe » pour des polynômes quadratiques en la courbure de Ricci. Nous introduisons au passage le concept de paire conforme, en particulier l'opérateur (du quatrième ordre) de Paneitz et sa courbure $Q$ associée, et nous discutons leurs relations à la géométrie conforme ique. On trouvera aussi une preuve d'un esprit différent du théorème principal : beaucoup plus courte et naturelle, elle généralise un argument dû à M. Gursky et J. Viaclovsky qui l'a largement inspirée. On y donne enfin quelques constructions de métriques de courbure $Q$ constante, conséquence des arguments développés précédemment.

Starting at a $4$-dimensional generalization of Polyakov's formula for regularized determinants, we present the ideas, tools, and results which led Chang S.-Y. A., M. Gursky and Yang P. to a sharp $L^{2}$ conformal sphere theorem. This includes the solution of Yamabe type problems for quadratic polynomials in the Ricci curvature. On our way we introduce “Conformal Pairs”, in particular the (4th order) Paneitz operator and its associated $Q$-curvature, and discuss how they relate to more ical $4$-dimensional conformal geometry. Elaborating on an argument due to M. Gursky and J. Viaclovsky, we also give a completely different, more direct and natural, proof of the main sphere theorem, and discuss further some related constructions of metrics with constant $Q$-curvature.

Géométrie conforme, dimension $4$, théorème de pincement, théorème de la sphère, paires conformes, opérateur de Paneitz, $Q$-courbure.
Conformal geometry, dimension $4$, pinching theorem, sphere theorem, conformal pairs, Paneitz operator, $Q$-curvature.
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