Soit $u$ une fonction continue $\ge 0$, définie sur $[0,1]$, telle que $ u(x)+u(x+1/2) = 1$, $\forall x \in [0,1/2]$ et $P_u$ l'opérateur de transition défini par $ P_uf(x) = u(x/2)f(x/2) + u(x/2+1/2) f(x/2+1/2)$, $f$ continue sur $[0,1]$. Nous faisons l'étude des fonctions invariantes par l'opérateur $P_u$ et du comportement asymptotique de ses itérés ($P_u^n$, $ n\in \mathbb {N}$). Nous appliquons les résultats à des équations fonctionnelles, à la construction des ondelettes et au filtrage.