On montre que les ensembles dénombrables fermés du cercle unité $\Gamma $ sont les seuls ensembles fermés de type $ZA^+$ qui sont de synthèse spectrale dans les algèbres de Beurling $A_w(\Gamma )$ pour tous les poids multiplicatifs $w$ sur $\mathbb {Z}$ satisfaisant aux conditions $w(n)=1$ pour $n\geq 0$ et ${\overline {\lim }}_{n\rightarrow -\infty }(\log w_n)/|n|^{1/2} =0$.