SMF

Fractions continues multidimensionnelles et lois stables

Anne Broise
Fractions continues multidimensionnelles et lois stables
  • Année : 1996
  • Fascicule : 1
  • Tome : 124
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11~J~70, 58~F~11, 60~F~05
  • Pages : 97-139
  • DOI : 10.24033/bsmf.2277
Soit $\displaystyle T : (x_1,\dots ,x_d) \mapsto \bigl ({ x_2 \over x_1} - a_1,\dots ,{x_d\over x_1} - a_{d-1}, {1\over x_1} - a_d\bigr )$ l'opérateur de Jacobi-Perron sur $[0,1]^d$. On étudie ici le comportement asymptotique du $n$-ième reste $T^n x$ et celui des variables aléatoires $a_n(x)$ générées par l'algorithme de Jacobi-Perron quand $x$ est uniformément réparti dans $[0,1]^d$. On montre que $T^n x$ converge en loi vers $\mu $ l'unique mesure de probabilité invariante par $T$ et absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et que sa densité $h$ est une fonction strictement positive, analytique sur chacun des ensembles $\mathbb {W}_\sigma = \{0 \leq x_{\sigma (1)} \leq \cdots \leq x_{\sigma (d)}\leq 1\}$, $\sigma $ dans $\mathfrak {G}_d$. Ensuite, on montre que les sommes $ n^{-\bar \alpha } \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^k a_k^\alpha (x)$, où $\alpha $ est le multi-indice $(\alpha _1,\dots , \alpha _d)$ tel que $\alpha _1+\cdots + \alpha _d = \bar \alpha > 1/2$, convergent en loi vers une loi stable symétrique de paramètre $\beta = 1/\bar \alpha $. Ainsi quand $x$ est uniformément réparti dans $[0,1]^d$, les variables aléatoires $(a_n(x))$ sont « presque indépendantes identiquement distribuées »de loi de type de Cauchy.
Let $\displaystyle T : (x_1,\dots ,x_d) \mapsto \bigl ({ x_2 \over x_1} - a_1,\dots , {x_d\over x_1} - a_{d-1}, {1\over x_1} - a_d\bigr )$ the Jacobi-Perron operator on $[0,1]^d$. We study the asymptotic behaviour of the $n$-th rest $T^n x$ and of the random variable $a_n(x)$ generated by the Jacobi-Perron algorithm, when $x$ is uniformly distributed in $[0,1]^d$. We prove that $T^n x$ converges in law to the unique $T$-invariant probability $\mu $ which has a density h with respect to Lebesgue measure. The function $h$ is strictly positive and analytic on the sets $\mathbb {W}_\sigma = \{0 \leq x_{\sigma (1)} \leq \cdots \leq x_{\sigma (d)}\leq 1\}$, $\sigma $ in $\mathfrak {G}_d$. Then, we prove that the sums $ n^{-\bar \alpha } \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^k a_k^\alpha (x)$, where $\alpha = (\alpha _1,\dots , \alpha _d)$ is a multi-indice such that $\alpha _1 +\cdots + \alpha _d = \bar \alpha > 1/2$, converge in law to a symmetric stable distribution with parameter $\beta = 1/\bar \alpha $. Thus, when $x$ is uniformly distributed in $[0,1]^d$ the random variables $(a_n(x))$ are « near »independent with a common distribution of Cauchy law type.
Des problèmes avec le téléchargement?Des problèmes avec le téléchargement?
Informez-nous de tout problème que vous avez...