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Functional calculus for first order systems of Dirac type and boundary value problems

Functional calculus for first order systems of Dirac type and boundary value problems

Pascal Auscher, Sebastian Stahlhut
Functional calculus for first order systems of Dirac type and boundary value problems
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  • Année : 2016
  • Tome : 144
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35J25, 35J57, 35J46, 35J47, 42B25, 42B30, 42B35, 47D06.
  • Nb. de pages : viii + 164
  • ISBN : 978-2-85629-829-9
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.452

Récemment, les solutions de problèmes aux limites de certaines équations (ou systèmes) elliptiques sous forme divergence à coefficients non mesurables ont été obtenues à partir de celles d'un système d'équations de type Cauchy-Riemann généralisé, dans l'esprit de ce qui est connu pour l'équation de Laplace. Ce système est déterminé par un opérateur d'ordre un de type Dirac sur le bord, dont le calcul fonctionnel holomorphe borné sur $L^2$ s'obtient par des techniques provenant de la solution du problème de Kato. Ce système peut être alors résolu par un semigroupe agissant sur un espace spectral. Ce mémoire décrit les propriétés de ce semigroupe et plus généralement celles du calcul fonctionnel sur d'autres espaces : $L^p$ pour $p$ proche de 2 et, sinon, des espaces de Hardy adaptés. Cela fournit des estimées non-tangentielles maximales et des intégrales d'aires de type Lusin pour les solutions des problèmes aux limites.

It was shown recently that solutions of boundary value problems for some second order elliptic equations (or systems) in divergence form with measurable coefficients can be constructed from solutions of generalised Cauchy-Riemann systems, in the spirit of what can be done for the Laplace equation. This involves a first order bisectorial operator of Dirac type on the boundary whose bounded holomorphic functional calculus on $L^2$ is proved by techniques from the solution of the Kato problem, and the system can henceforth be solved by a semigroup for $L^2$ data in a spectral space. This memoir investigates the properties of this semigroup and, more generally, of the functional calculus on other spaces : $L^p$ for $p$ near 2 and adapted Hardy spaces otherwise. This yields non-tangential maximal functions estimates and Lusin area estimates for solutions of the boundary value problems.

First order elliptic systems ; Hardy spaces associated to operators ; tent spaces ; non-tangential maximal functions ; second order elliptic systems ; boundary layer operators ; a priori estimates ; Dirichlet and Neumann problems ; extrapolation.
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